Google
Câu hỏi: Cho hình thang cân $ABCD$ có $AD=2AB=2BC=2CD=2a$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang $ABCD$ quanh đường thẳng $AB$.
A. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{21\pi {{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{15\pi{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Khi đó tam giác $OAD$ là tam giác đều.
Gọi $K$ là trung điểm của $OB$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ khi đó tứ giác $BCDE$ là hình thoi nên $BE=\dfrac{1}{2}AD$ suy ra tam giác $ABD$ vuông tại $B$.
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối nón được tạo ra khi quay tam giác $OAD$ quanh đường thẳng $OA$.
Chiều cao của khối nón là $OB$ $\Rightarrow OB=h=a$.
Bán kính $R=B\text{D}=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Khi đó thể tích khối nón được tạo ra bởi tam giác $OBD$ là: ${{V}_{OBD}}=\dfrac{1}{3}\pi a.{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\pi {{a}^{3}}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=2\pi {{a}^{3}}$.
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích khối nón được tạo ra khi quay tam giác $OBC$ quanh đường thẳng $OB$.
Thể tích khối nón được tạo ra bởi tam giác $OKC$ là ${{V}_{OKC}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{8}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=2{{V}_{\Delta OKC}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay khi quay hình thang $ABCD$ quanh $AB$ :
$\Rightarrow V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=2\pi {{a}^{3}}-\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}=\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{21\pi {{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{15\pi{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Khi đó tam giác $OAD$ là tam giác đều.
Gọi $K$ là trung điểm của $OB$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ khi đó tứ giác $BCDE$ là hình thoi nên $BE=\dfrac{1}{2}AD$ suy ra tam giác $ABD$ vuông tại $B$.
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối nón được tạo ra khi quay tam giác $OAD$ quanh đường thẳng $OA$.
Chiều cao của khối nón là $OB$ $\Rightarrow OB=h=a$.
Bán kính $R=B\text{D}=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Khi đó thể tích khối nón được tạo ra bởi tam giác $OBD$ là: ${{V}_{OBD}}=\dfrac{1}{3}\pi a.{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\pi {{a}^{3}}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=2\pi {{a}^{3}}$.
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích khối nón được tạo ra khi quay tam giác $OBC$ quanh đường thẳng $OB$.
Thể tích khối nón được tạo ra bởi tam giác $OKC$ là ${{V}_{OKC}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{8}$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=2{{V}_{\Delta OKC}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay khi quay hình thang $ABCD$ quanh $AB$ :
$\Rightarrow V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=2\pi {{a}^{3}}-\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}=\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án A.