Google
Câu hỏi: Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y={{x}^{2}},y=0,x=0,x=4$. Đường thẳng $y=k\left( 0<k<16 \right)$ chia hình $\left( H \right)$ thành hai phần có diện tích ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ như hình vẽ. Tìm k để ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$
A. $k=8$
B. $k=4$
C. $k=5$
D. $k=3$
A. $k=8$
B. $k=4$
C. $k=5$
D. $k=3$
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số $y={{x}^{2}}$ và $y=k$ là $x=\sqrt{k}$
Do đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{\sqrt{k}}^{4}{\left( {{x}^{2}}-k \right)dx}$ và ${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}dx}-{{S}_{1}}$
Ta có ${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{\sqrt{k}}^{4}{\left( {{x}^{2}}-k \right)dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}dx}\Leftrightarrow \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-kx \right)\left| \begin{aligned}
& ^{4} \\
& _{\sqrt{k}} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{32}{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{64}{3}-4k-\dfrac{\sqrt{{{k}^{3}}}}{3}+\sqrt{{{k}^{3}}}=\dfrac{32}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{k}=2+2\sqrt{3} \\
& \sqrt{k}=2-2\sqrt{3} \\
& \sqrt{k}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k=4 $ thỏa mãn $ \left( 0<k<16 \right)$. Chọn B.
Do đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{\sqrt{k}}^{4}{\left( {{x}^{2}}-k \right)dx}$ và ${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}dx}-{{S}_{1}}$
Ta có ${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{\sqrt{k}}^{4}{\left( {{x}^{2}}-k \right)dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}dx}\Leftrightarrow \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-kx \right)\left| \begin{aligned}
& ^{4} \\
& _{\sqrt{k}} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{32}{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{64}{3}-4k-\dfrac{\sqrt{{{k}^{3}}}}{3}+\sqrt{{{k}^{3}}}=\dfrac{32}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{k}=2+2\sqrt{3} \\
& \sqrt{k}=2-2\sqrt{3} \\
& \sqrt{k}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k=4 $ thỏa mãn $ \left( 0<k<16 \right)$. Chọn B.
Đáp án B.