Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=\left|...

The Professor · 21/12/21

Câu hỏi: Cho hình phẳng

(H)

giới hạn bởi các đường

y = | x^{2} - 1 |

và

y = k, 0 < k < 1.

Tìm

k

để diện tích của hình phẳng

(H)

gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. Khi đó

k

nhận giá trị nào dưới đây?

A.

k = \sqrt[3]{4}

.
B.

k = \sqrt[3]{2} - 1

.
C.

k = \frac{1}{2}

.
D. 3.

Do đồ thị nhận trục

O y

làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = 1 - x^{2}, y = k, x = 0

bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

y = 1 - x^{2}, y = x^{2} - 1, y = k, x > 0.

\begin{aligned} \int_{0}^{\sqrt{1 - k}} (1 - x^{2} - k) d x = \\ \int_{\sqrt{1 - k}}^{1} (k - 1 + x^{2}) d x + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}} (k - x^{2} + 1) d x . \end{aligned}

\begin{aligned} \Leftrightarrow (1 - k) \sqrt{1 - k} - \frac{1}{3} (1 - k) \sqrt{1 - k} \\ = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3} (1 - k) \sqrt{1 - k} + (1 - k) \sqrt{1 - k} \\ + (1 + k) \sqrt{1 + k} - \frac{1}{3} (1 + k) \sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3} \end{aligned}

\Leftrightarrow \frac{2}{3} (1 + k) \sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

\Leftrightarrow {(\sqrt{1 + k})}^{3} = 2

\Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1.

Đáp án D.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\left|...