Google
Câu hỏi: Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=\left| {{x}^{2}}-1 \right|$ và $y=k,0<k<1.$ Tìm $k$ để diện tích của hình phẳng $\left( H \right)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. Khi đó $k$ nhận giá trị nào dưới đây?
A. $k=\sqrt[3]{4}$.
B. $k=\sqrt[3]{2}-1$.
C. $k=\dfrac{1}{2}$.
D. 3.
A. $k=\sqrt[3]{4}$.
B. $k=\sqrt[3]{2}-1$.
C. $k=\dfrac{1}{2}$.
D. 3.
Do đồ thị nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=1-{{x}^{2}},y=k,x=0$ bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : $y=1-{{x}^{2}},y={{x}^{2}}-1,y=k,x>0.$
$\begin{aligned}
& \int\limits_{0}^{\sqrt{1-k}}{\left( 1-{{x}^{2}}-k \right)}\text{d}x= \\
& \int\limits_{\sqrt{1-k}}^{1}{\left( k-1+{{x}^{2}} \right)}\text{d}x+\int\limits_{1}^{\sqrt{1+k}}{\left( k-{{x}^{2}}+1 \right)}\text{d}x. \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( 1-k \right)\sqrt{1-k}-\dfrac{1}{3}\left( 1-k \right)\sqrt{1-k} \\
& =\dfrac{1}{3}-\left( 1-k \right)-\dfrac{1}{3}\left( 1-k \right)\sqrt{1-k}+\left( 1-k \right)\sqrt{1-k} \\
& +\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}-\dfrac{1}{3}\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}-\left( 1+k \right)+\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}=\dfrac{4}{3}$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{1+k} \right)}^{3}}=2$
$\Leftrightarrow k=\sqrt[3]{4}-1.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=1-{{x}^{2}},y=k,x=0$ bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : $y=1-{{x}^{2}},y={{x}^{2}}-1,y=k,x>0.$
$\begin{aligned}
& \int\limits_{0}^{\sqrt{1-k}}{\left( 1-{{x}^{2}}-k \right)}\text{d}x= \\
& \int\limits_{\sqrt{1-k}}^{1}{\left( k-1+{{x}^{2}} \right)}\text{d}x+\int\limits_{1}^{\sqrt{1+k}}{\left( k-{{x}^{2}}+1 \right)}\text{d}x. \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( 1-k \right)\sqrt{1-k}-\dfrac{1}{3}\left( 1-k \right)\sqrt{1-k} \\
& =\dfrac{1}{3}-\left( 1-k \right)-\dfrac{1}{3}\left( 1-k \right)\sqrt{1-k}+\left( 1-k \right)\sqrt{1-k} \\
& +\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}-\dfrac{1}{3}\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}-\left( 1+k \right)+\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}=\dfrac{4}{3}$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{1+k} \right)}^{3}}=2$
$\Leftrightarrow k=\sqrt[3]{4}-1.$
Đáp án D.