Google
Câu hỏi: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0,x=k\left( k>0 \right).$ Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng OA và chia (H) thành hai phần có diện tích ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$ như hình vẽ. Biết $3{{S}_{1}}+{{S}_{2}}=12,$ tính $a+b.$
A. $a+b=0.$
B. $a+b=-2.$
C. $a+b=-1.$
D. $a+b=1.$
Ta có: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{k}{\sqrt{x}dx}=\int\limits_{0}^{\sqrt{k}}{td\left( {{t}^{2}} \right)}=\int\limits_{0}^{\sqrt{k}}{t.2tdt}=\dfrac{2k\sqrt{k}}{3}.$
${{S}_{2}}=\dfrac{1}{2}AC.AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{k}.\dfrac{k}{2}=\dfrac{1}{4}k\sqrt{k}$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{2}{3}k\sqrt{k}-\dfrac{1}{4}k\sqrt{k}=\dfrac{5}{12}k\sqrt{k}$
$\Rightarrow 3{{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\dfrac{3}{2}k\sqrt{k}=12\Rightarrow k=4.$
Đường thẳng $y=ax+b$ qua
$B\left( 2;0 \right),C\left( 4;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a+b=0 \\
4a+b=2 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=1 \\
b=-2 \\
\end{array} \right..$
A. $a+b=0.$
B. $a+b=-2.$
C. $a+b=-1.$
D. $a+b=1.$
Ta có: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{k}{\sqrt{x}dx}=\int\limits_{0}^{\sqrt{k}}{td\left( {{t}^{2}} \right)}=\int\limits_{0}^{\sqrt{k}}{t.2tdt}=\dfrac{2k\sqrt{k}}{3}.$
${{S}_{2}}=\dfrac{1}{2}AC.AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{k}.\dfrac{k}{2}=\dfrac{1}{4}k\sqrt{k}$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{2}{3}k\sqrt{k}-\dfrac{1}{4}k\sqrt{k}=\dfrac{5}{12}k\sqrt{k}$
$\Rightarrow 3{{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\dfrac{3}{2}k\sqrt{k}=12\Rightarrow k=4.$
Đường thẳng $y=ax+b$ qua
$B\left( 2;0 \right),C\left( 4;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a+b=0 \\
4a+b=2 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=1 \\
b=-2 \\
\end{array} \right..$
Đáp án C.