Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y = \sqrt{x}, y = 0, x = k (k > 0) .

Đường thẳng

y = a x + b

đi qua trung điểm của đoạn thẳng OA và chia (H) thành hai phần có diện tích

S_{1}

,

S_{2}

như hình vẽ. Biết

3 S_{1} + S_{2} = 12,

tính

a + b .

A.

a + b = 0.

B.

a + b = - 2.

C.

a + b = - 1.

D.

a + b = 1.

Ta có:

S_{1} + S_{2} = \int_{0}^{k} \sqrt{x} d x = \int_{0}^{\sqrt{k}} t d (t^{2}) = \int_{0}^{\sqrt{k}} t .2 t d t = \frac{2 k \sqrt{k}}{3} .

S_{2} = \frac{1}{2} A C . A B = \frac{1}{2} \sqrt{k} . \frac{k}{2} = \frac{1}{4} k \sqrt{k}

\Rightarrow S_{1} = \frac{2}{3} k \sqrt{k} - \frac{1}{4} k \sqrt{k} = \frac{5}{12} k \sqrt{k}

\Rightarrow 3 S_{1} + S_{2} = \frac{3}{2} k \sqrt{k} = 12 \Rightarrow k = 4.

Đường thẳng

y = a x + b

qua

B (2; 0), C (4; 2) \Rightarrow {\begin{cases} 2 a + b = 0 \\ 4 a + b = 2 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \end{cases} .

Đáp án C.