Google
Câu hỏi: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{\left( 2{{x}^{2}}+x \right)\sin x-\left( x-1 \right)\cos x}{x\sin x+\cos x},$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0$ và $x=\dfrac{\pi }{4}.$ Biết rằng diện tích của hình phẳng D bằng $\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi }{16}+a\ln 2+b\ln \left( \pi +4 \right),$ với a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $2a+b=12.$
B. $2a-b=-6.$
C. $2a-b=-12.$
D. $2a+b=6.$
A. $2a+b=12.$
B. $2a-b=-6.$
C. $2a-b=-12.$
D. $2a+b=6.$
$I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\left( 2{{x}^{2}}+x \right)\sin x-\left( x-1 \right)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( x\sin x+\cos x \right)-3x\cos x}{x\sin x+\cos x}}dx$
$\Leftrightarrow I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 2x+1 \right)dx}-3\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{d\left( x\sin x+\cos x \right)}{x\sin x+\cos x}}=\left. \left( {{x}^{2}}+x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}-3\left. \ln \left| x\sin x+\cos x \right| \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}$
$\Leftrightarrow I=\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi }{16}+\dfrac{15}{2}\ln 2-3\ln \left( \pi +4 \right)\Rightarrow a=\dfrac{15}{2};b=-3.$ Do đó $2a+b=12.$
$\Leftrightarrow I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 2x+1 \right)dx}-3\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{d\left( x\sin x+\cos x \right)}{x\sin x+\cos x}}=\left. \left( {{x}^{2}}+x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}-3\left. \ln \left| x\sin x+\cos x \right| \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}$
$\Leftrightarrow I=\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi }{16}+\dfrac{15}{2}\ln 2-3\ln \left( \pi +4 \right)\Rightarrow a=\dfrac{15}{2};b=-3.$ Do đó $2a+b=12.$
Đáp án A.