Google
Câu hỏi: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có diện tích bằng $2\sqrt{6}$. Khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng thiết diện là
A. $\dfrac{4\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{6\sqrt{34}}{17}$.
C. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Dựng hình nón đỉnh O như hình vẽ ta có: $OI\bot \left( I;R \right)$.
Theo giả thiết ta có: $h=OI=4$, $R=IA=IB=3$
Gọi M là trung điểm AB $\Rightarrow MI\bot AB$
$\Rightarrow AB\bot \left( OMI \right)\Rightarrow AB\bot OM$
Dựng $IH\bot OM\Rightarrow d=IH$, đặt $IM=x\Rightarrow OM=\sqrt{{{x}^{2}}+16}$
Lại có: $MB=\sqrt{9-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{S}_{OAB}}=OM.MB$
$=\sqrt{{{x}^{2}}+16}.\sqrt{9-{{x}^{2}}}=2\sqrt{6}\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+16 \right)\left( 9-{{x}^{2}} \right)=24$
$\Leftrightarrow -{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+120=0\xrightarrow[{}]{{}}{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}$
Suy ra $d=IH=\dfrac{OI.IM}{\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{M}^{2}}}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{4\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{6\sqrt{34}}{17}$.
C. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Dựng hình nón đỉnh O như hình vẽ ta có: $OI\bot \left( I;R \right)$.
Theo giả thiết ta có: $h=OI=4$, $R=IA=IB=3$
Gọi M là trung điểm AB $\Rightarrow MI\bot AB$
$\Rightarrow AB\bot \left( OMI \right)\Rightarrow AB\bot OM$
Dựng $IH\bot OM\Rightarrow d=IH$, đặt $IM=x\Rightarrow OM=\sqrt{{{x}^{2}}+16}$
Lại có: $MB=\sqrt{9-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{S}_{OAB}}=OM.MB$
$=\sqrt{{{x}^{2}}+16}.\sqrt{9-{{x}^{2}}}=2\sqrt{6}\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+16 \right)\left( 9-{{x}^{2}} \right)=24$
$\Leftrightarrow -{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+120=0\xrightarrow[{}]{{}}{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}$
Suy ra $d=IH=\dfrac{OI.IM}{\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{M}^{2}}}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
Đáp án C.