Google
Câu hỏi: Cho hình nón $S$ có đáy là hình thoi tâm $O$. Dựng hai đường sinh $SA$ và $SB$, biết tam giác $SAB$ vuông và có diện tích $4{{a}^{2}}$. Góc tạo bởi trục $SO$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng ${{30}^{o}}$. Thể tích khối nón được taọ nên bởi hình nón đã cho bằng
A. $V=\dfrac{5\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
B. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
C. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
D. $V=5\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}$
- Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$. ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2\sqrt{2}a\Rightarrow AB=4a$
Gọi $M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow SM=2a$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OM\bot AB \\
& SM\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SO,(SAB)} \right)=\left( \widehat{OSM} \right)={{30}^{0}}$
- Trong tam giác $SOM$
$\cos {{30}^{0}}=\dfrac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\cos {{30}^{0}}.SM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.2a=a\sqrt{3}$
- Trong tam giác $SOB$
$R=OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{(2\sqrt{2}a)}^{2}}-{{(a\sqrt{3})}^{2}}}=a\sqrt{5}$
- Thể tích khối chóp $S=\dfrac{1}{3}\pi .h.{{R}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\pi .a\sqrt{3}.a\sqrt{5}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$ Chọn C
A. $V=\dfrac{5\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
B. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
C. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
D. $V=5\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}$
Gọi $M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow SM=2a$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OM\bot AB \\
& SM\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SO,(SAB)} \right)=\left( \widehat{OSM} \right)={{30}^{0}}$
- Trong tam giác $SOM$
$\cos {{30}^{0}}=\dfrac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\cos {{30}^{0}}.SM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.2a=a\sqrt{3}$
- Trong tam giác $SOB$
$R=OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{(2\sqrt{2}a)}^{2}}-{{(a\sqrt{3})}^{2}}}=a\sqrt{5}$
- Thể tích khối chóp $S=\dfrac{1}{3}\pi .h.{{R}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\pi .a\sqrt{3}.a\sqrt{5}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$ Chọn C
Đáp án C.