Google
Câu hỏi: Cho hình nón (N) có đường sinh tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Thể tích của khối nón giới hạn bởi (N) bằng
A. $3\pi $
B. $3\sqrt{3}\pi $
C. $9\pi $
D. $9\sqrt{3}\pi $
Gọi r,h và l lần lượt là bán kính đáy, độ dài chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón (N). Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục của hình nón ta thu được tam giác cân tại đỉnh của hình nón có độ dài cạnh bên bằng l và độ dài cạnh đáy bằng 2r.
Theo giả thiết ta có $\dfrac{r}{l}=cos60{}^\circ $ hay l = 2r. Do đó thiết diện tam giác đều.
Chu vi thiết diện bằng 6r và diện tích thiết diện bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{\left( 2r \right)}^{2}}=\sqrt{3}{{r}^{2}}$
Do bán kính đường tròn nội tiếp thiết diện bằng 1 nên $\dfrac{\sqrt{3}{{r}^{2}}}{3r}=1$ hay $r=\sqrt{3}$.
Suy ra $l=2\sqrt{3}$ và $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=3$. Vậy thể tích khối nón bằng $\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=3\pi $.
A. $3\pi $
B. $3\sqrt{3}\pi $
C. $9\pi $
D. $9\sqrt{3}\pi $
Theo giả thiết ta có $\dfrac{r}{l}=cos60{}^\circ $ hay l = 2r. Do đó thiết diện tam giác đều.
Chu vi thiết diện bằng 6r và diện tích thiết diện bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{\left( 2r \right)}^{2}}=\sqrt{3}{{r}^{2}}$
Do bán kính đường tròn nội tiếp thiết diện bằng 1 nên $\dfrac{\sqrt{3}{{r}^{2}}}{3r}=1$ hay $r=\sqrt{3}$.
Suy ra $l=2\sqrt{3}$ và $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=3$. Vậy thể tích khối nón bằng $\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=3\pi $.
Đáp án A.