Google
Câu hỏi: Cho hình nón (N) có đường sinh bằng a, góc ở đỉnh bằng $90{}^\circ .$ Thiết diện qua đỉnh của (N) là một tam giác nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60{}^\circ .$ Tính theo a diện tích S của tam giác này.
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}$
D. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
$\Delta SAB$ vuông cân tại $S\Rightarrow SO=OA=OB=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$.
Thiết diện qua đỉnh của $\left( N \right)$ là $\Delta SC\text{D}$ như hình vẽ.
Kẻ $OP\bot C\text{D}\Rightarrow \widehat{\left( (SC\text{D});(OC\text{D}) \right)}=\widehat{SPO}=60{}^\circ $.
$\sin 60{}^\circ =\dfrac{SO}{SP}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SP=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.SO=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
$\tan 60{}^\circ =\dfrac{SO}{OP}\Rightarrow OP=\dfrac{SO}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$
$\Rightarrow P\text{D}=\sqrt{O{{\text{D}}^{2}}-O{{P}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{6}} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow C\text{D}=2P\text{D}=\dfrac{2\text{a}}{\sqrt{3}}\Rightarrow {{S}_{SC\text{D}}}=\dfrac{1}{2}SP.C\text{D}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}$
D. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
$\Delta SAB$ vuông cân tại $S\Rightarrow SO=OA=OB=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$.
Thiết diện qua đỉnh của $\left( N \right)$ là $\Delta SC\text{D}$ như hình vẽ.
Kẻ $OP\bot C\text{D}\Rightarrow \widehat{\left( (SC\text{D});(OC\text{D}) \right)}=\widehat{SPO}=60{}^\circ $.
$\sin 60{}^\circ =\dfrac{SO}{SP}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SP=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.SO=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
$\tan 60{}^\circ =\dfrac{SO}{OP}\Rightarrow OP=\dfrac{SO}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$
$\Rightarrow P\text{D}=\sqrt{O{{\text{D}}^{2}}-O{{P}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{6}} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow C\text{D}=2P\text{D}=\dfrac{2\text{a}}{\sqrt{3}}\Rightarrow {{S}_{SC\text{D}}}=\dfrac{1}{2}SP.C\text{D}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án A.