Google
Câu hỏi: Cho hình nón $N$ có đỉnh $S$, tâm đường tròn đáy là $O$, góc ở đỉnh bằng ${{120}^{0}}$. Một mặt phẳng qua $S$ cắt hình nón $N$ theo thiết diện là tam giác vuông $SAB$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$ bằng 3. Tính diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình nón $N$.
A. ${{S}_{xq}}=36\sqrt{3}\pi $
B. ${{S}_{xq}}=27\sqrt{3}\pi $
C. ${{S}_{xq}}=18\sqrt{3}\pi $
D. ${{S}_{xq}}=9\sqrt{3}\pi $
A. ${{S}_{xq}}=36\sqrt{3}\pi $
B. ${{S}_{xq}}=27\sqrt{3}\pi $
C. ${{S}_{xq}}=18\sqrt{3}\pi $
D. ${{S}_{xq}}=9\sqrt{3}\pi $
Ta có thiết diện là tam giác vuông cân $SAB$. Đặt $SA=SB=x\Rightarrow AB=x\sqrt{2}$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, nên $AH=HB=SH=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$ và $d\left( SO,AB \right)=OH=3$
Xét tam giác vuông $OHB$ : ta có $O{{B}^{2}}=H{{B}^{2}}+O{{H}^{2}}={{\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{3}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}+18}{2}$
Xét tam giác vuông $SHB$ : ta có $S{{O}^{2}}=S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}={{\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{3}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}-18}{2}$
Mà $R=OB=SO.\tan {{60}^{0}}\Rightarrow OB=SO.\sqrt{3}\Rightarrow O{{B}^{2}}=3.S{{O}^{2}}\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+18}{2}=3.\dfrac{{{x}^{2}}-18}{2}\Rightarrow x=6$
$\Rightarrow R=OB=\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+18}{2}}=\sqrt{\dfrac{{{6}^{2}}+18}{2}}=3\sqrt{3}$ ; $l=SB=\dfrac{OB}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=6$
Vậy: ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .3\sqrt{3}.6=18\sqrt{3}\pi $
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, nên $AH=HB=SH=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$ và $d\left( SO,AB \right)=OH=3$
Xét tam giác vuông $OHB$ : ta có $O{{B}^{2}}=H{{B}^{2}}+O{{H}^{2}}={{\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{3}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}+18}{2}$
Xét tam giác vuông $SHB$ : ta có $S{{O}^{2}}=S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}={{\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{3}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}-18}{2}$
Mà $R=OB=SO.\tan {{60}^{0}}\Rightarrow OB=SO.\sqrt{3}\Rightarrow O{{B}^{2}}=3.S{{O}^{2}}\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+18}{2}=3.\dfrac{{{x}^{2}}-18}{2}\Rightarrow x=6$
$\Rightarrow R=OB=\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+18}{2}}=\sqrt{\dfrac{{{6}^{2}}+18}{2}}=3\sqrt{3}$ ; $l=SB=\dfrac{OB}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=6$
Vậy: ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .3\sqrt{3}.6=18\sqrt{3}\pi $
Đáp án C.