Google
Câu hỏi: Cho hình nón $(N)$ có đỉnh $O$, chiều cao $h=12 \mathrm{~cm}$. Một khối nón $(N$ ') có đỉnh là tâm đáy của $(N)$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh $O$ đã cho (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao $x,\ (0<x<12)$ của khối nón $\left(N^{\prime}\right)$ đề thể tích của nó là lớn nhất.
A. $x=6 \mathrm{~cm}$.
B. $x=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$.
C. $x=4 \mathrm{~cm}$.
D. $x=8 \mathrm{~cm}$.
B. $x=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$.
C. $x=4 \mathrm{~cm}$.
D. $x=8 \mathrm{~cm}$.
Gọi $x$ là chiều cao cần tìm. $R,r$ lần lượt là chiều cao của khối nón lớn và bé.
Khi đó $\dfrac{r}{R}=\dfrac{h-x}{h}\Rightarrow r=\dfrac{R(h-x)}{h}.$
Thể tích khối nón đỉnh $({N}')$ là $V=\dfrac{1}{3} \pi\left[\dfrac{R(h-x)}{h}\right]^2 x=\dfrac{\pi R^2}{6 h^2}(h-x)^2 2 x$
$\overset{\text{ }}{\mathop{\le }} \dfrac{\pi {{R}^{2}}}{6{{h}^{2}}}\dfrac{{{(h-x+h-x+2x)}^{3}}}{27}=\dfrac{4\pi {{R}^{2}}h}{81}.$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $h-x=2x\Leftrightarrow x=\dfrac{h}{3}=\dfrac{12}{3}=4.$
Khi đó $\dfrac{r}{R}=\dfrac{h-x}{h}\Rightarrow r=\dfrac{R(h-x)}{h}.$
Thể tích khối nón đỉnh $({N}')$ là $V=\dfrac{1}{3} \pi\left[\dfrac{R(h-x)}{h}\right]^2 x=\dfrac{\pi R^2}{6 h^2}(h-x)^2 2 x$
$\overset{\text{ }}{\mathop{\le }} \dfrac{\pi {{R}^{2}}}{6{{h}^{2}}}\dfrac{{{(h-x+h-x+2x)}^{3}}}{27}=\dfrac{4\pi {{R}^{2}}h}{81}.$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $h-x=2x\Leftrightarrow x=\dfrac{h}{3}=\dfrac{12}{3}=4.$
Đáp án C.