Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường sinh tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Mặt phẳng qua trục của $\left( N \right)$ cắt $\left( N \right)$ được thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $2$. Thể tích $V$ của khối nón giới hạn bởi $\left( N \right)$ bằng
A. $V=72\sqrt{3}\pi $.
B. $V=24\pi $.
C. $V=72\pi $.
D. $V=24\sqrt{3}\pi $.
Gọi $a$ là độ dài đường sinh của hình nón $\left( N \right)$.
Mặt phẳng qua trục của hình nón $\left( N \right)$ cắt hình nón theo thiết diện là $\Delta ABC$.
Do đường sinh tạo với đáy một góc $60{}^\circ $ nên $\Delta ABC$ là tam giác đều.
Vì $\Delta ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $2$ nên ta có
${{S}_{\Delta ABC}}=p.r\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a}{2}.2\Leftrightarrow a=4\sqrt{3}$.
Suy ra lần lượt đường cao và bán kính của hình nón là
$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=6$ ; $r=\dfrac{a}{2}=2\sqrt{3}$.
Suy ra thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón $\left( N \right)$ là
$V=\dfrac{1}{3}.\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}.\pi .12.6=24\pi $ (đvtt).
A. $V=72\sqrt{3}\pi $.
B. $V=24\pi $.
C. $V=72\pi $.
D. $V=24\sqrt{3}\pi $.
Mặt phẳng qua trục của hình nón $\left( N \right)$ cắt hình nón theo thiết diện là $\Delta ABC$.
Do đường sinh tạo với đáy một góc $60{}^\circ $ nên $\Delta ABC$ là tam giác đều.
Vì $\Delta ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $2$ nên ta có
${{S}_{\Delta ABC}}=p.r\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a}{2}.2\Leftrightarrow a=4\sqrt{3}$.
Suy ra lần lượt đường cao và bán kính của hình nón là
$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=6$ ; $r=\dfrac{a}{2}=2\sqrt{3}$.
Suy ra thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón $\left( N \right)$ là
$V=\dfrac{1}{3}.\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}.\pi .12.6=24\pi $ (đvtt).
Đáp án B.
