Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường cao bằng $\dfrac{3a}{2}$, đáy của $\left( N \right)$ có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của $\left( N \right)$ là một tam giác nằm trong mặt phẳng cách tâm đáy của $\left( N \right)$ một khoảng bằng $\dfrac{3a}{4}$. Tính theo a diện tích S của tam giác này.
A. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $S=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$.
C. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $S=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$.
Thiết diện qua đỉnh $\left( N \right)$ là $\Delta SCD$ như hình vẽ.
Kẻ $OK\bot CD,OP\bot SK\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OP=\dfrac{3a}{4}$.
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{16}{9{{a}^{2}}}-\dfrac{4}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{12}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow OK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow C{{K}^{2}}=\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{K}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow CD=2CK=a$.
Ta có $SK=\dfrac{SO.OK}{OP}=\dfrac{\dfrac{3a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3a}{4}}=a\sqrt{3}$.
Từ $CD\bot \left( SOK \right)\Rightarrow CD\bot SK$
$\Rightarrow {{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}CD.SK=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
A. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $S=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$.
C. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $S=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$.
Thiết diện qua đỉnh $\left( N \right)$ là $\Delta SCD$ như hình vẽ.
Kẻ $OK\bot CD,OP\bot SK\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OP=\dfrac{3a}{4}$.
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{16}{9{{a}^{2}}}-\dfrac{4}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{12}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow OK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow C{{K}^{2}}=\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{K}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow CD=2CK=a$.
Ta có $SK=\dfrac{SO.OK}{OP}=\dfrac{\dfrac{3a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3a}{4}}=a\sqrt{3}$.
Từ $CD\bot \left( SOK \right)\Rightarrow CD\bot SK$
$\Rightarrow {{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}CD.SK=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án C.