Cho hình nón $(N)$ có đường cao bằng $\frac{3 a}{2},$ ...

The Knowledge · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hình nón

(N)

có đường cao bằng

\frac{3 a}{2},

đáy của

(N)

có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của

(N)

là một tam giác nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng

60^{\circ} .

Tính theo a diện tích S của tam giác này.
A.

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3} .

B.

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .

C.

S = \frac{3 a^{2}}{2} .

D.

S = \frac{3 a^{2}}{4} .

Thiết diện qua đỉnh của

(N)

là

Δ S C D

như hình vẽ.
Kẻ

O P ⊥ C D \Rightarrow (\hat{(S C D); (O C D)}) = \hat{S P O} = 60^{\circ}

\Rightarrow \tan 60^{\circ} = \frac{S O}{O P} \Rightarrow O P = \frac{S O}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

\Rightarrow C P = \sqrt{O C^{2} - O P^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a}{2} \Rightarrow C D = 2 C P = a .

Lại có

\sin 60^{\circ} = \frac{S O}{S P} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow S P = \frac{2 S O}{\sqrt{3}} = a \sqrt{3} .

Từ

C D ⊥ S P \Rightarrow S_{S C D} = \frac{1}{2} C D . S P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .

Đáp án B.

Cho hình nón (N) có đường cao bằng 3a2,...