Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường cao bằng $\dfrac{3a}{2},$ đáy của $\left( N \right)$ có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của $\left( N \right)$ là một tam giác nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60{}^\circ .$ Tính theo a diện tích S của tam giác này.
A. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.$
B. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
C. $S=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}.$
D. $S=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}.$
Thiết diện qua đỉnh của $\left( N \right)$ là $\Delta SCD$ như hình vẽ.
Kẻ $OP\bot CD\Rightarrow \left( \widehat{\left( SCD \right);\left( OCD \right)} \right)=\widehat{SPO}=60{}^\circ $
$\Rightarrow \tan 60{}^\circ =\dfrac{SO}{OP}\Rightarrow OP=\dfrac{SO}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow CP=\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{P}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow CD=2CP=a.$
Lại có $\sin 60{}^\circ =\dfrac{SO}{SP}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SP=\dfrac{2SO}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3}.$
Từ $CD\bot SP\Rightarrow {{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}CD.SP=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
A. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.$
B. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
C. $S=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}.$
D. $S=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}.$
Thiết diện qua đỉnh của $\left( N \right)$ là $\Delta SCD$ như hình vẽ.
Kẻ $OP\bot CD\Rightarrow \left( \widehat{\left( SCD \right);\left( OCD \right)} \right)=\widehat{SPO}=60{}^\circ $
$\Rightarrow \tan 60{}^\circ =\dfrac{SO}{OP}\Rightarrow OP=\dfrac{SO}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow CP=\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{P}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow CD=2CP=a.$
Lại có $\sin 60{}^\circ =\dfrac{SO}{SP}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SP=\dfrac{2SO}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3}.$
Từ $CD\bot SP\Rightarrow {{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}CD.SP=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án B.