Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường cao bằng 2a, đáy của $\left( N \right)$ có bán kính bằng a. Thiết diện vuông góc với trục của $\left( N \right)$ là một đường tròn $\left( T \right)$ có chu vi bằng $\dfrac{2\pi a}{3}.$ Tính theo a diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình nón có đỉnh là đỉnh của $\left( N \right)$ và đáy là $\left( T \right)$.
A. ${{S}_{xq}}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{9}.$
B. ${{S}_{xq}}=\dfrac{2\pi {{a}^{2}}\sqrt{5}}{9}.$
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{2\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{9}.$
D. ${{S}_{xq}}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{5}}{9}.$
A. ${{S}_{xq}}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{9}.$
B. ${{S}_{xq}}=\dfrac{2\pi {{a}^{2}}\sqrt{5}}{9}.$
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{2\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{9}.$
D. ${{S}_{xq}}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{5}}{9}.$
Thiết diện vuông góc với trục của $\left( N \right)$ là đường tròn $\left( T \right)$ có tâm là ${O}'$ như hình vẽ.
Ta có $2\pi .M{O}'=\dfrac{2\pi a}{3}\Rightarrow M{O}'=\dfrac{a}{3}$.
$\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{M{O}'}{AO}\Rightarrow SM=\dfrac{SA.M{O}'}{AO}=\dfrac{a\sqrt{5}.\dfrac{a}{3}}{a}=\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$.
$\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .M{O}'.SM=\pi .\dfrac{a}{3}.\dfrac{a\sqrt{5}}{3}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{5}}{9}$
Ta có $2\pi .M{O}'=\dfrac{2\pi a}{3}\Rightarrow M{O}'=\dfrac{a}{3}$.
$\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{M{O}'}{AO}\Rightarrow SM=\dfrac{SA.M{O}'}{AO}=\dfrac{a\sqrt{5}.\dfrac{a}{3}}{a}=\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$.
$\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .M{O}'.SM=\pi .\dfrac{a}{3}.\dfrac{a\sqrt{5}}{3}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{5}}{9}$
Đáp án D.