Cho hình nón $\left(N\right)$ có đỉnh là $S$, tâm đường tròn đáy...

Vì góc ở đỉnh bằng $120{}^{\circ }$ nên ta có $\widehat{ASO}=60{}^{\circ }.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, khi đó $OH$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $SO$ và $SO$. Như vậy $d(SO,AB)=OH=4$.
Xét tam giác $SOA$ vuông tại $O$ có $SA={\displaystyle \frac{OA}{\sin 60{}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{2R}{\sqrt{3}}}\Rightarrow l={\displaystyle \frac{2R}{\sqrt{3}}}$.
Xét tam giác $OHB$ vuông tại $H$ có $HB=\sqrt{O{B}^2-O{H}^2}=\sqrt{R^2-16}\Rightarrow AB=2HB=2\sqrt{R^2-16}$.
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên ta có
$AB=l\sqrt{2}\iff 2\sqrt{R^2-16}={\displaystyle \frac{2R}{\sqrt{3}}}.\sqrt{2}\iff 3(R^2-16)=2R^2\iff R^2=48\iff R=4\sqrt{3}\Rightarrow l=8$.
Suy ra $h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{8^2-{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=4$.
Vậy thể tích của hình nón là $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi R^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .{\left(4\sqrt{3}\right)}^2.4=64\pi$.