Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ có đỉnh $S,$ chiều cao $h.$ Một hình nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ có đỉnh là tâm của đáy $\left( {{N}_{1}} \right)$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của $\left( {{N}_{1}} \right)$ như hình vẽ. Khối nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $x$ bằng
A. $x=\dfrac{2h}{3}$.
B. $x=\dfrac{h}{2}$.
C. $x=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}$.
D. $x=\dfrac{h}{3}$.
Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với $O,I$ lần lượt là tâm đáy của hình nón $\left( {{N}_{1}} \right),\left( {{N}_{2}} \right);$ $R, r$ lần lượt là các bán kính của hai đường tròn đáy của $\left( {{N}_{1}} \right),\left( {{N}_{2}} \right).$
Ta có $\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{r}{R}\Leftrightarrow \dfrac{h-x}{h}=\dfrac{r}{R}\Rightarrow r=\dfrac{R\left( h-x \right)}{h}.$
Thể tích khối nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ là: ${{V}_{\left( {{N}_{2}} \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}x=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{{{R}^{2}}{{\left( h-x \right)}^{2}}}{{{h}^{2}}}.x=\dfrac{\pi {{R}^{2}}}{3{{h}^{2}}}\times x{{\left( h-x \right)}^{2}}.$
Xét hàm $f\left( x \right)=x{{\left( h-x \right)}^{2}}$ với $0<x<h$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta có:
$f\left( x \right)=\dfrac{2x\left( h-x \right)\left( h-x \right)}{2}\le \dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{2x+h-x+h-x}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4{{h}^{3}}}{27}$
Đẳng thức xảy ra khi $2x=h-x\Leftrightarrow $ $x=\dfrac{h}{3}.$
Vậy $\underset{\left( 0;h \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\dfrac{4{{h}^{3}}}{27}$ đạt được khi $x=\dfrac{h}{3}$.
A. $x=\dfrac{2h}{3}$.
B. $x=\dfrac{h}{2}$.
C. $x=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}$.
D. $x=\dfrac{h}{3}$.
Ta có $\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{r}{R}\Leftrightarrow \dfrac{h-x}{h}=\dfrac{r}{R}\Rightarrow r=\dfrac{R\left( h-x \right)}{h}.$
Thể tích khối nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ là: ${{V}_{\left( {{N}_{2}} \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}x=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{{{R}^{2}}{{\left( h-x \right)}^{2}}}{{{h}^{2}}}.x=\dfrac{\pi {{R}^{2}}}{3{{h}^{2}}}\times x{{\left( h-x \right)}^{2}}.$
Xét hàm $f\left( x \right)=x{{\left( h-x \right)}^{2}}$ với $0<x<h$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta có:
$f\left( x \right)=\dfrac{2x\left( h-x \right)\left( h-x \right)}{2}\le \dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{2x+h-x+h-x}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4{{h}^{3}}}{27}$
Đẳng thức xảy ra khi $2x=h-x\Leftrightarrow $ $x=\dfrac{h}{3}.$
Vậy $\underset{\left( 0;h \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\dfrac{4{{h}^{3}}}{27}$ đạt được khi $x=\dfrac{h}{3}$.
Đáp án D.