Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có góc ở đỉnh bằng $60{}^\circ $ và có độ dài đường sinh $l=12 cm$. Gọi $AB$ là một đường kính cố định của đáy hình nón, $MN$ là một dây cung thay đổi của đường tròn đáy là luôn vuông góc với $AB$. Biết rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác $SMN$ luôn thuộc một đường tròn $\left( C \right)$ cố định. Tính bán kính của đường tròn $\left( C \right)$.
A. $6\sqrt{2} cm$
B. $2\sqrt{3} cm$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2} cm$
D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2} cm$
Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy của hình nón và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$. Suy ra điểm $I$ cố định.
Gọi $E=MN\cap AB\Rightarrow OE\bot MN$
Xét tam giác $SAB$ có $SA=SA, \angle ASB=60{}^\circ $ nên $SAB$ là tam giác đều cạnh $12 cm$ $SO=6\sqrt{3} cm\Rightarrow SI=4\sqrt{3} cm$.
Ta có $IA=IB=IS=IM=IN$.
Dễ thấy $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$ và $I$ cũng thuộc mặt phẳng trung trực của $MA$.
Dựng $IH\bot \left( SMN \right)$ tại $H$.
Vì $IS=IM=IN$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$.
Tam giác $SIH$ vuông ở $H$.
Vậy quỹ tích điểm $H$ là đường tròn $\left( C \right)$ có đường kính $SI$.
Do đó bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ bằng $\dfrac{SI}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} cm$.
A. $6\sqrt{2} cm$
B. $2\sqrt{3} cm$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2} cm$
D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2} cm$
Gọi $E=MN\cap AB\Rightarrow OE\bot MN$
Xét tam giác $SAB$ có $SA=SA, \angle ASB=60{}^\circ $ nên $SAB$ là tam giác đều cạnh $12 cm$ $SO=6\sqrt{3} cm\Rightarrow SI=4\sqrt{3} cm$.
Ta có $IA=IB=IS=IM=IN$.
Dễ thấy $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$ và $I$ cũng thuộc mặt phẳng trung trực của $MA$.
Dựng $IH\bot \left( SMN \right)$ tại $H$.
Vì $IS=IM=IN$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$.
Tam giác $SIH$ vuông ở $H$.
Vậy quỹ tích điểm $H$ là đường tròn $\left( C \right)$ có đường kính $SI$.
Do đó bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ bằng $\dfrac{SI}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} cm$.
Đáp án B.