Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đường cao $h=a\sqrt{3}$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua đỉnh $S$, cắt đường tròn tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB=6a$ và tạo với đáy một góc $30{}^\circ $. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A. $3\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$
B. $4\sqrt{21}\pi {{a}^{2}}$
C. $3\sqrt{42}\pi {{a}^{2}}$
D. $2\sqrt{21}\pi {{a}^{2}}$
Gọi H là trung điểm của $AB$.
Ta có : $\left\{ \begin{aligned}
& \left( \alpha \right)\bigcap \left( OAB \right)=AB \\
& SH\subset \left( \alpha \right),SH\bot AB \\
& OH\subset \left( OAB \right),OH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( \alpha \right) , \left( OAB \right)} \right)=\widehat{SHO}=30{}^\circ $.
Trong $\Delta SOH$ vuông tại $O$ ta có : $\tan \widehat{SHO}=\dfrac{SO}{OH}\Rightarrow OH=\tan \widehat{SHO}.OH=\tan 30{}^\circ .a\sqrt{3}=3a$.
Trong $\Delta OHA$ vuông tại $H$ ta có : $OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{O{{H}^{2}}+{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 3a \right)}^{2}}}=3\sqrt{2}a$.
Trong $\Delta SOA$ vuông tại $O$ ta có : $SA=\sqrt{O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}}=\sqrt{18{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=\sqrt{21}a$.
Suy ra : ${{S}_{xq}}=\pi OA.SA=\pi .3\sqrt{2}a.\sqrt{21}a=3\sqrt{42}\pi {{a}^{2}}$.
A. $3\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$
B. $4\sqrt{21}\pi {{a}^{2}}$
C. $3\sqrt{42}\pi {{a}^{2}}$
D. $2\sqrt{21}\pi {{a}^{2}}$
Ta có : $\left\{ \begin{aligned}
& \left( \alpha \right)\bigcap \left( OAB \right)=AB \\
& SH\subset \left( \alpha \right),SH\bot AB \\
& OH\subset \left( OAB \right),OH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( \alpha \right) , \left( OAB \right)} \right)=\widehat{SHO}=30{}^\circ $.
Trong $\Delta SOH$ vuông tại $O$ ta có : $\tan \widehat{SHO}=\dfrac{SO}{OH}\Rightarrow OH=\tan \widehat{SHO}.OH=\tan 30{}^\circ .a\sqrt{3}=3a$.
Trong $\Delta OHA$ vuông tại $H$ ta có : $OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{O{{H}^{2}}+{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 3a \right)}^{2}}}=3\sqrt{2}a$.
Trong $\Delta SOA$ vuông tại $O$ ta có : $SA=\sqrt{O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}}=\sqrt{18{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=\sqrt{21}a$.
Suy ra : ${{S}_{xq}}=\pi OA.SA=\pi .3\sqrt{2}a.\sqrt{21}a=3\sqrt{42}\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án C.