Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là hình tròn tâm $O$. Dựng hai đường sinh $SA$ và $SB$, biết tam giác $SAB$ vuông và có diện tích bằng $4{{a}^{2}}$. Góc tạo bởi giữa trục $SO$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Đường cao $h$ của hình nón bằng
A. $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
B. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $h=a\sqrt{3}$.
D. $h=a\sqrt{2}$.
Theo giả thiết ta có tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$.
Gọi $E$ là trung điểm $AB$, suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& SE\bot AB \\
& OE\bot AB \\
\end{aligned} \right. $ và $ SE=\dfrac{1}{2}AB$.
Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}AB.SE=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}AB=4{{a}^{2}}$ $\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SE=2a$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SE$, suy ra $OH\bot SE$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OE \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOE \right)\Rightarrow AB\bot OH.$
Từ đó suy ra $OH\bot \left( SAB \right)$ nên ${{30}^{0}}=\left( \widehat{SO,\left( SAB \right)} \right)=\left( \widehat{SO,SH} \right)=\widehat{OSH}=\widehat{OSE}.$
Trong tam giác vuông $SOE$, ta có : $SO=SE.\cos \widehat{OSE}=a\sqrt{3}.$
A. $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
B. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $h=a\sqrt{3}$.
D. $h=a\sqrt{2}$.
Gọi $E$ là trung điểm $AB$, suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& SE\bot AB \\
& OE\bot AB \\
\end{aligned} \right. $ và $ SE=\dfrac{1}{2}AB$.
Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}AB.SE=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}AB=4{{a}^{2}}$ $\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SE=2a$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SE$, suy ra $OH\bot SE$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OE \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOE \right)\Rightarrow AB\bot OH.$
Từ đó suy ra $OH\bot \left( SAB \right)$ nên ${{30}^{0}}=\left( \widehat{SO,\left( SAB \right)} \right)=\left( \widehat{SO,SH} \right)=\widehat{OSH}=\widehat{OSE}.$
Trong tam giác vuông $SOE$, ta có : $SO=SE.\cos \widehat{OSE}=a\sqrt{3}.$
Đáp án C.