Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Trên đường tròn $\left( O \right)$ lấy 2 điểm $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông. Biết diện tích tam giác $SAB$ bằng ${{R}^{2}}\sqrt{2}$, thể tích khối nón đã cho bằng
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}$.
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$.
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}$.
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}$.
Kẻ $OH\bot AB$, $\left( H\in AB \right)$ $\Rightarrow H$ là trung điểm $AB$ và $SH\bot AB$.
Do tam giác $OAB$ vuông $\Rightarrow AB=R\sqrt{2}$ và $OH=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}SH.AB\Rightarrow SH=\dfrac{2\sqrt{2}{{R}^{2}}}{\sqrt{2}R}=2R$ $\Rightarrow SO=\sqrt{S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}=\dfrac{R\sqrt{14}}{2}$.
Vậy thể tích của khối nón đã cho là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$.
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}$.
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$.
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}$.
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}$.
Kẻ $OH\bot AB$, $\left( H\in AB \right)$ $\Rightarrow H$ là trung điểm $AB$ và $SH\bot AB$.
Do tam giác $OAB$ vuông $\Rightarrow AB=R\sqrt{2}$ và $OH=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}SH.AB\Rightarrow SH=\dfrac{2\sqrt{2}{{R}^{2}}}{\sqrt{2}R}=2R$ $\Rightarrow SO=\sqrt{S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}}=\dfrac{R\sqrt{14}}{2}$.
Vậy thể tích của khối nón đã cho là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$.
Đáp án B.