Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Trên đường tròn $\left( O \right)$ lấy 2 điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng ${{R}^{2}}\sqrt{2},$ thể tích hình nón đã cho bằng
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}.$
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}.$
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}.$
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}.$
HD: Gọi I là trung điểm của AB ta có:
$OA=OB=R\Rightarrow \Delta OAB$ vuông tại O $\Rightarrow AB=R\sqrt{2}.$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot AB \\
& AB\bot OI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SIO \right)\Rightarrow AB\bot SI.$
Khi đó ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=\dfrac{SI.R\sqrt{2}}{2}={{R}^{2}}\sqrt{2}\Leftrightarrow SI=2R$
Lại có: $OI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\dfrac{R\sqrt{14}}{2}$
Suy ra ${{V}_{\left( S;O \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}.$
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}.$
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}.$
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}.$
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}.$
HD: Gọi I là trung điểm của AB ta có:
$OA=OB=R\Rightarrow \Delta OAB$ vuông tại O $\Rightarrow AB=R\sqrt{2}.$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot AB \\
& AB\bot OI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SIO \right)\Rightarrow AB\bot SI.$
Khi đó ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=\dfrac{SI.R\sqrt{2}}{2}={{R}^{2}}\sqrt{2}\Leftrightarrow SI=2R$
Lại có: $OI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\dfrac{R\sqrt{14}}{2}$
Suy ra ${{V}_{\left( S;O \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}.$
Đáp án C.