Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R. Trên đường tròn $\left( O \right)$ lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng ${{R}^{2}}\sqrt{2}$, thể tích hình nón đã cho bằng:
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}.$
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}.$
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}.$
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}.$
Gọi H là trung điểm của AB ta có: $OH\bot AB,SH\bot AB$.
Tam giác OAB vuông tại $O\Rightarrow AB=R\sqrt{2},OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}.$
Tam giác SAB có ${{S}_{SAB}}={{R}^{2}}\sqrt{2}\Rightarrow SH=\dfrac{2.{{S}_{SAB}}}{AB}=\dfrac{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}{R\sqrt{2}}=2R$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}-\dfrac{2{{R}^{2}}}{4}}=\dfrac{R\sqrt{14}}{2}$.
Thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$.
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}.$
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}.$
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}.$
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}.$
Gọi H là trung điểm của AB ta có: $OH\bot AB,SH\bot AB$.
Tam giác OAB vuông tại $O\Rightarrow AB=R\sqrt{2},OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}.$
Tam giác SAB có ${{S}_{SAB}}={{R}^{2}}\sqrt{2}\Rightarrow SH=\dfrac{2.{{S}_{SAB}}}{AB}=\dfrac{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}{R\sqrt{2}}=2R$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}-\dfrac{2{{R}^{2}}}{4}}=\dfrac{R\sqrt{14}}{2}$.
Thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$.
Đáp án B.