Cho hình nón đỉnh $S$ có chiều cao $h=a$ và bán kính đáy $r=2 a$...

Gọi điểm $O$ là tâm của đường tròn đáy và điểm $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$.
Suy ra $O K \perp A B$ và $A K=\dfrac{A B}{2}=a \sqrt{3}$.
Gọi điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $O$ trên đường thẳng $S K$.
Ta có:
$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
A B \perp S O \\
A B \perp O K \\
S O \cap O K=O \\
S O, O K \subset(S O K)
\end{array} \Rightarrow A B \perp(S O K) \text { mà } O H \subset(S O K) \Rightarrow A B \perp O H ;\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
O H \perp A B \\
O H \perp S K \\
S K \cap A B=K \\
S K, A B \subset(S A B)
\end{array} \Rightarrow O H \perp(S A B) \Rightarrow d=d(O,(S A B))=O H .\right.
\end{aligned}
$
Xét tam giác $O A K$ vuông tại $K$.
Ta có $O K=\sqrt{O A^2-A K^2}=\sqrt{4 a^2-3 a^2}=a$.
Xét tam giác $S O K$ vuông tại $O$ và $O K=S O=a$ nên tam giác $S O K$ vuông cân tại $O$.
Suy ra $O H=\dfrac{S K}{2}=\dfrac{\sqrt{S O^2+O K^2}}{2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
Vậy $d=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.