Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $2 \sqrt{3} a$. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng $4a$. Biết diện tích của thiết diện bằng $8{{a}^{2}}$, khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng
A. $2a\sqrt{3}$.
B. $4a$.
C. $4a\sqrt{3}$.
D. $2a$.
Giả sử thiết diện cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB=4a.$
Ta có $SO$ là đường cao của hình nón. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
Ta có: $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SOI \right)$ $\Rightarrow \left( SOI \right)\bot \left( SAB \right)$
Mà $\left( SOI \right)\cap \left( SAB \right)=SI$ nên từ $O$ dựng $OH\bot SI$ thì $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O,\left( SAB \right) \right)$
Xét tam giác $AOI$ ta có: $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Theo giả thiết: ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}.SI.AB\Rightarrow SI=\dfrac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{AB}=\dfrac{2.8{{a}^{2}}}{4a}=4a$
Xét tam giác $SOI$ ta có: $SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{2}a=OI$ nên $\Delta SOI$ vuông cân tại O
$\Rightarrow OH=\dfrac{1}{2}SI=2a.$
Vậy khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng $2a.$
A. $2a\sqrt{3}$.
B. $4a$.
C. $4a\sqrt{3}$.
D. $2a$.
Giả sử thiết diện cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB=4a.$
Ta có $SO$ là đường cao của hình nón. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
Ta có: $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SOI \right)$ $\Rightarrow \left( SOI \right)\bot \left( SAB \right)$
Mà $\left( SOI \right)\cap \left( SAB \right)=SI$ nên từ $O$ dựng $OH\bot SI$ thì $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O,\left( SAB \right) \right)$
Xét tam giác $AOI$ ta có: $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Theo giả thiết: ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}.SI.AB\Rightarrow SI=\dfrac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{AB}=\dfrac{2.8{{a}^{2}}}{4a}=4a$
Xét tam giác $SOI$ ta có: $SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{2}a=OI$ nên $\Delta SOI$ vuông cân tại O
$\Rightarrow OH=\dfrac{1}{2}SI=2a.$
Vậy khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng $2a.$
Đáp án D.