Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $2 \sqrt{3} a$. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng $4a$. Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng $2a$. Tính diện tích của thiết diện đó.
A. $4{{a}^{2}}$.
B. $8{{a}^{2}}\sqrt{3}$.
C. $8{{a}^{2}}$.
D. $4{{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Giả sử thiết diện cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB=4a.$
Ta có $SO$ là đường cao của hình nón. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
Ta có: $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SOI \right)$ $\Rightarrow \left( SOI \right)\bot \left( SAB \right)$
Mà $\left( SOI \right)\cap \left( SAB \right)=SI$ nên từ $O$ dựng $OH\bot SI$ thì $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O,\left( SAB \right) \right)=2a$
Xét tam giác $AOI$ ta có: $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Xét tam giác $SOI$ ta có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow S{{O}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow SO=2\sqrt{2}a\Rightarrow SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=4a$
Vậy diện tích thiết diện bằng: ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}.SI.AB=\dfrac{1}{2}.4a.4a=8{{a}^{2}}.$
A. $4{{a}^{2}}$.
B. $8{{a}^{2}}\sqrt{3}$.
C. $8{{a}^{2}}$.
D. $4{{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Giả sử thiết diện cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB=4a.$
Ta có $SO$ là đường cao của hình nón. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
Ta có: $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SOI \right)$ $\Rightarrow \left( SOI \right)\bot \left( SAB \right)$
Mà $\left( SOI \right)\cap \left( SAB \right)=SI$ nên từ $O$ dựng $OH\bot SI$ thì $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O,\left( SAB \right) \right)=2a$
Xét tam giác $AOI$ ta có: $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Xét tam giác $SOI$ ta có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow S{{O}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow SO=2\sqrt{2}a\Rightarrow SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=4a$
Vậy diện tích thiết diện bằng: ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}.SI.AB=\dfrac{1}{2}.4a.4a=8{{a}^{2}}.$
Đáp án C.