Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $2 \sqrt{3} a$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho $A B=4 a$. Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng $(S A B)$ bằng $2a$, diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng
A. $4\sqrt{15}\pi {{a}^{2}}$.
B. $4\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{15}+3 \right)$.
C. $8\sqrt{15}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{15}+3 \right)$.
Ta có $SO$ là đường cao của hình nón. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
Ta có: $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SOI \right)$ $\Rightarrow \left( SOI \right)\bot \left( SAB \right)$
Mà $\left( SOI \right)\cap \left( SAB \right)=SI$ nên từ $O$ dựng $OH\bot SI$ thì $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O,\left( SAB \right) \right)=2a$
Xét tam giác $AOI$ ta có: $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Xét tam giác $SOI$ ta có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow S{{O}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow SO=2\sqrt{2}a=h$, $r=2\sqrt{3}a$ $\Rightarrow l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=2\sqrt{5}a$
Vậy diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng:
$V=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=\pi .2\sqrt{3}a.2\sqrt{5}a+\pi {{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}=4\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{15}+3 \right).$
A. $4\sqrt{15}\pi {{a}^{2}}$.
B. $4\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{15}+3 \right)$.
C. $8\sqrt{15}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{15}+3 \right)$.
Ta có $SO$ là đường cao của hình nón. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
Ta có: $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SOI \right)$ $\Rightarrow \left( SOI \right)\bot \left( SAB \right)$
Mà $\left( SOI \right)\cap \left( SAB \right)=SI$ nên từ $O$ dựng $OH\bot SI$ thì $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O,\left( SAB \right) \right)=2a$
Xét tam giác $AOI$ ta có: $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Xét tam giác $SOI$ ta có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow S{{O}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow SO=2\sqrt{2}a=h$, $r=2\sqrt{3}a$ $\Rightarrow l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=2\sqrt{5}a$
Vậy diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng:
$V=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=\pi .2\sqrt{3}a.2\sqrt{5}a+\pi {{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}=4\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{15}+3 \right).$
Đáp án B.