Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $I$ tâm đường tròn là $H$. Một mặt phẳng qua $I$ tạo với mặt đáy hình nón một góc $60{}^\circ $ cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều $IBC$ cạnh $a$. Tính thể tích khối nón.
A. $\dfrac{11\pi {{a}^{3}}}{64}$.
B. $\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{64}$.
C. $\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{64}$.
D. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{64}$.
Ta có $(IBC)$ giao với mặt đáy theo giao tuyến $BC$, $HJ\bot BC$ nên $\widehat{IJH}=60{}^\circ $
Mặt khác $IJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (do $\Delta IBC$ đều cạnh $a$ )
Xét $\Delta IHJ$
$\sin \widehat{HJI}=\dfrac{HI}{IJ}\Rightarrow HI=IJ.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{4}$
$\cos \overset\frown{HJI}=\dfrac{HJ}{IJ}\Rightarrow HJ=IJCOS60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Xét $\Delta BHJ$
$HB=R=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{16}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}$
${{V}_{non}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{7{{a}^{2}}}{16}\dfrac{3a}{4}=\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{64}$
A. $\dfrac{11\pi {{a}^{3}}}{64}$.
B. $\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{64}$.
C. $\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{64}$.
D. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{64}$.
Ta có $(IBC)$ giao với mặt đáy theo giao tuyến $BC$, $HJ\bot BC$ nên $\widehat{IJH}=60{}^\circ $
Mặt khác $IJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (do $\Delta IBC$ đều cạnh $a$ )
Xét $\Delta IHJ$
$\sin \widehat{HJI}=\dfrac{HI}{IJ}\Rightarrow HI=IJ.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{4}$
$\cos \overset\frown{HJI}=\dfrac{HJ}{IJ}\Rightarrow HJ=IJCOS60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Xét $\Delta BHJ$
$HB=R=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{16}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}$
${{V}_{non}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{7{{a}^{2}}}{16}\dfrac{3a}{4}=\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{64}$
Đáp án D.