Google
Câu hỏi: Cho hình nón cụt có trục $O{O}'=h$, bán kính đáy lớn bằng hai lần bán kính đáy nhỏ và đường sinh của hình nón cụt tạo với mặt đáy lớn một góc $60{}^\circ $. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với đáy của hình nón cụt, chia khối nón cụt thành hai phần có thể tích bằng nhau, tính bán kính của thiết diện do $\left( \alpha \right)$ cắt hình nón cụt đã cho.
A. $\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}h$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}h}{2}$.
C. $\dfrac{3h}{2}$.
D. $\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}h$.
Gọi $S$ là điểm đồng quy của các đường sinh của hình nón cụt đã cho. Cắt hình nón bằng mặt phẳng chứa trục $O{O}'$ ta được thiết diện như hình vẽ trên. Theo giả thiết, ta có $\widehat{SAB}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $.
Gọi $R$ là bán kính đáy nhỏ của hình nón cụt thì bán kính đáy lớn là $2R$.
Do $\dfrac{S{O}'}{SO}=\dfrac{{O}'C}{OB}=\dfrac{1}{2}$ và $O{O}'=h$ nên $S{O}'=h$ và $SO=2h$.
Ta có $\dfrac{S{O}'}{SI}=\dfrac{{O}'C}{IN}=\dfrac{R}{r}$ và $S{O}'=h$ nên $SI=\dfrac{hr}{R}$.
Vì $\widehat{SAB}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $ và tam giác $SOB$ vuông tại $O$ nên
Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}},{{V}_{3}}$ lần lượt là thể tích khối nón đỉnh $S$ có đáy là $\left( O \right),\left( {{O}'} \right),\left( I \right)$.
Ta có ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 2R \right)}^{2}}.SO=\dfrac{8}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\pi {{R}^{3}};{{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}S{O}'=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi {{R}^{3}}$ và ${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}SI=\dfrac{\sqrt{3}\pi {{r}^{3}}}{3}$
Ta có $\left( \alpha \right)$ chia khối nón cụt đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau khi và chỉ khi ${{V}_{1}}-{{V}_{3}}={{V}_{3}}-{{V}_{2}}\Leftrightarrow 2{{V}_{3}}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\sqrt{3}\pi {{r}^{3}}}{3}=3\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{9}{2}}R\text{ hay }r=\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}h$.
A. $\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}h$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}h}{2}$.
C. $\dfrac{3h}{2}$.
D. $\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}h$.
Gọi $S$ là điểm đồng quy của các đường sinh của hình nón cụt đã cho. Cắt hình nón bằng mặt phẳng chứa trục $O{O}'$ ta được thiết diện như hình vẽ trên. Theo giả thiết, ta có $\widehat{SAB}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $.
Gọi $R$ là bán kính đáy nhỏ của hình nón cụt thì bán kính đáy lớn là $2R$.
Do $\dfrac{S{O}'}{SO}=\dfrac{{O}'C}{OB}=\dfrac{1}{2}$ và $O{O}'=h$ nên $S{O}'=h$ và $SO=2h$.
Ta có $\dfrac{S{O}'}{SI}=\dfrac{{O}'C}{IN}=\dfrac{R}{r}$ và $S{O}'=h$ nên $SI=\dfrac{hr}{R}$.
Vì $\widehat{SAB}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $ và tam giác $SOB$ vuông tại $O$ nên
$SO=OB\tan SBO\Leftrightarrow 2h=2R\tan SBO\Leftrightarrow h=R\sqrt{3}$.
Thiết diện của hình nón cụt cắt bởi $\left( \alpha \right)$ là một đường tròn có tâm $I$ thuộc trục $O{O}'$ và có bán kính $r$.Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}},{{V}_{3}}$ lần lượt là thể tích khối nón đỉnh $S$ có đáy là $\left( O \right),\left( {{O}'} \right),\left( I \right)$.
Ta có ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 2R \right)}^{2}}.SO=\dfrac{8}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\pi {{R}^{3}};{{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}S{O}'=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi {{R}^{3}}$ và ${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}SI=\dfrac{\sqrt{3}\pi {{r}^{3}}}{3}$
Ta có $\left( \alpha \right)$ chia khối nón cụt đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau khi và chỉ khi ${{V}_{1}}-{{V}_{3}}={{V}_{3}}-{{V}_{2}}\Leftrightarrow 2{{V}_{3}}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\sqrt{3}\pi {{r}^{3}}}{3}=3\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{9}{2}}R\text{ hay }r=\sqrt[6]{\dfrac{3}{4}}h$.
Đáp án A.