Google
Câu hỏi: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a. Bên trong hình nón người ta đặt một khối cầu và một hình trụ sao cho hình trụ có một đáy nằm trên đáy của hình nón và một đáy tiếp xúc với các đường sinh của hình nón; còn hình cầu tiếp xúc với một mặt của hình trụ và các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Bán kính của mặt đáy hình trụ thỏa mãn tổng thể tích của khối cầu và khối trụ đạt giá trị lớn nhất là
A. $R=\dfrac{3a}{23}$.
B. $R=\dfrac{9a}{23}$.
C. $R=\dfrac{a}{3}$.
D. $R=\dfrac{3a\sqrt{3}}{23}$.
A. $R=\dfrac{3a}{23}$.
B. $R=\dfrac{9a}{23}$.
C. $R=\dfrac{a}{3}$.
D. $R=\dfrac{3a\sqrt{3}}{23}$.
Gọi bán kính của mặt đáy hình trụ là x.
Bán kính khối cầu là $r=\dfrac{x\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{V}_{c}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}\pi {{x}^{3}}$
Chiều cao khối trụ là $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a-\sqrt{3}x$
$\Rightarrow {{V}_{T}}=\pi {{x}^{2}}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}a-\sqrt{3}x \right)=\sqrt{3}\pi \left( \dfrac{a{{x}^{2}}}{2}-{{x}^{3}} \right)\Rightarrow V={{V}_{C}}+{{V}_{T}}=\sqrt{3}\pi \left( \dfrac{a{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{23{{x}^{3}}}{27} \right)$
Xét hàm số $y=\dfrac{a{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{23{{x}^{3}}}{27}$ trên $\left( 0;\dfrac{a}{2} \right)$ ta có ${{V}_{\max }}=\dfrac{27\pi \sqrt{3}}{1058}{{a}^{3}}$ khi $x=\dfrac{9a}{23}$.
Bán kính khối cầu là $r=\dfrac{x\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{V}_{c}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}\pi {{x}^{3}}$
Chiều cao khối trụ là $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a-\sqrt{3}x$
$\Rightarrow {{V}_{T}}=\pi {{x}^{2}}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}a-\sqrt{3}x \right)=\sqrt{3}\pi \left( \dfrac{a{{x}^{2}}}{2}-{{x}^{3}} \right)\Rightarrow V={{V}_{C}}+{{V}_{T}}=\sqrt{3}\pi \left( \dfrac{a{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{23{{x}^{3}}}{27} \right)$
Xét hàm số $y=\dfrac{a{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{23{{x}^{3}}}{27}$ trên $\left( 0;\dfrac{a}{2} \right)$ ta có ${{V}_{\max }}=\dfrac{27\pi \sqrt{3}}{1058}{{a}^{3}}$ khi $x=\dfrac{9a}{23}$.
Đáp án B.