Google
Câu hỏi: Cho hình nón có thiết diện đi qua đỉnh là tam giác $SAB$ vuông tại ${S}$,( ${A}$, ${B}$ thuộc đường tròn đáy). Biết tam giác $SAB$ có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $2\left( \sqrt{2}-1 \right)$ đường cao $SO$ tạo với mặt phẳng $SAB$ một góc $30{}^\circ $. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
[/LIST]
A. $2\sqrt{10}\pi $
B. $2\sqrt{5}\pi $
C. $4\sqrt{10}\pi $
D. $\sqrt{15}\pi $
Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=p.2\left( \sqrt{2}-1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.SA.SB=\dfrac{SA+SB+\sqrt{2}.SA}{2}.2\left( \sqrt{2}-1 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{l}^{2}}=l\sqrt{2}\left( \sqrt{2}+1 \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)\Leftrightarrow l=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow AB=l\sqrt{2}=4$.
Mặt khác gọi ${I}$ là trung điểm của ${AB}$ ta có $\widehat{OSI}=30{}^\circ $
$\sin {{30}^{0}}=\dfrac{OI}{SI}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}}{\sqrt{{{l}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}-4}}{\sqrt{8-4}}\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-4}=1\Leftrightarrow {{R}^{2}}=5\Leftrightarrow R=\sqrt{5}$
Vậy ${{S}_{xq}}=\pi Rl=2\sqrt{2}.\sqrt{5}\pi =2\sqrt{10}\pi $ .
[/LIST]
A. $2\sqrt{10}\pi $
B. $2\sqrt{5}\pi $
C. $4\sqrt{10}\pi $
D. $\sqrt{15}\pi $
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{l}^{2}}=l\sqrt{2}\left( \sqrt{2}+1 \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)\Leftrightarrow l=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow AB=l\sqrt{2}=4$.
Mặt khác gọi ${I}$ là trung điểm của ${AB}$ ta có $\widehat{OSI}=30{}^\circ $
$\sin {{30}^{0}}=\dfrac{OI}{SI}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}}{\sqrt{{{l}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}-4}}{\sqrt{8-4}}\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-4}=1\Leftrightarrow {{R}^{2}}=5\Leftrightarrow R=\sqrt{5}$
Vậy ${{S}_{xq}}=\pi Rl=2\sqrt{2}.\sqrt{5}\pi =2\sqrt{10}\pi $ .
Đáp án A.