Google
Câu hỏi: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng $60{}^\circ ,$ diện tích xung quanh bằng $6\pi {{a}^{2}}$. Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho.
A. $V=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
B. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
C. $V=3\pi {{a}^{3}}$.
D. $V=\pi {{a}^{3}}$.
Thể tích $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO.$
Ta có $\widehat{ASB}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{ASO}=30{}^\circ $ $\Rightarrow \tan 30{}^\circ =\dfrac{OA}{SO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow SO=OA\sqrt{3}.$
Lại có ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .OA.SA=\pi .OA\sqrt{O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}}=6\pi {{a}^{2}}$
$\Rightarrow OA\sqrt{O{{A}^{2}}+3O{{A}^{2}}}=6{{a}^{2}}\Rightarrow 2O{{A}^{2}}=6{{a}^{2}}$ $\Rightarrow OA=a\sqrt{3}\Rightarrow SO=3a\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi .3{{a}^{2}}.3a=3\pi {{a}^{3}}.$
A. $V=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
B. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
C. $V=3\pi {{a}^{3}}$.
D. $V=\pi {{a}^{3}}$.
Ta có $\widehat{ASB}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{ASO}=30{}^\circ $ $\Rightarrow \tan 30{}^\circ =\dfrac{OA}{SO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow SO=OA\sqrt{3}.$
Lại có ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .OA.SA=\pi .OA\sqrt{O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}}=6\pi {{a}^{2}}$
$\Rightarrow OA\sqrt{O{{A}^{2}}+3O{{A}^{2}}}=6{{a}^{2}}\Rightarrow 2O{{A}^{2}}=6{{a}^{2}}$ $\Rightarrow OA=a\sqrt{3}\Rightarrow SO=3a\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi .3{{a}^{2}}.3a=3\pi {{a}^{3}}.$
Đáp án C.