Google
Câu hỏi: Cho hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn $\left( O;R \right)$. Trên đường tròn $\left( O;R \right)$ lấy hai điểm $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng ${{R}^{2}}\sqrt{2}.$ Tính thể tích V của khối nón đã cho.
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}$
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}$
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}$
Ta có $OA=OB\Rightarrow OA\bot OB\Rightarrow AB=R\sqrt{2}$.
${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}AB\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}={{R}^{2}}\sqrt{2}$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}.R\sqrt{2}=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{R\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}={{R}^{2}}\sqrt{2} \\
& \Rightarrow S{{A}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}=\left( 2{{R}^{2}} \right)\Rightarrow SA=\dfrac{3R}{\sqrt{2}} \\
& \Rightarrow h=SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=R\sqrt{\dfrac{7}{2}}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{7}{2}}\pi {{R}^{3}}. \\
\end{aligned}$
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}$
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}$
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}$
Ta có $OA=OB\Rightarrow OA\bot OB\Rightarrow AB=R\sqrt{2}$.
${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}AB\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}={{R}^{2}}\sqrt{2}$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}.R\sqrt{2}=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \dfrac{R\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}={{R}^{2}}\sqrt{2} \\
& \Rightarrow S{{A}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2}=\left( 2{{R}^{2}} \right)\Rightarrow SA=\dfrac{3R}{\sqrt{2}} \\
& \Rightarrow h=SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=R\sqrt{\dfrac{7}{2}}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{7}{2}}\pi {{R}^{3}}. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.