Google
Câu hỏi: Cho hình nón có đỉnh $S,$ đáy là đường tròn tâm $O$ sao cho $SO=6\sqrt{5},$ một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt mặt nón theo hai đường sinh $SA, SB.$ Biết khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng $2\sqrt{5}$ và diện tích tam giác $SAB$ bằng 360. Thể tích của khối nón bằng
A. $1325\pi \sqrt{5}.$
B. $265\pi \sqrt{5}.$
C. $1325\sqrt{5}.$
D. $265\sqrt{5}.$
A. $1325\pi \sqrt{5}.$
B. $265\pi \sqrt{5}.$
C. $1325\sqrt{5}.$
D. $265\sqrt{5}.$
Gọi $M$ là trung điểm $AB\Rightarrow OM\bot AB;$ kẻ $OH\bot SM\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$
Tam giác $SMO$ vuông tại $S,$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow OM=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$
Tam giác $OAM$ vuông tại $M,$ có $O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=O{{A}^{2}}\Rightarrow AM=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{45}{2}}$
Diện tích tam giác $SAB$ là ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SM.AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{9\sqrt{10}}{2}.2\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{45}{2}}=360\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{1325}{2}$
Vậy thể tích khối nón cần tính là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{1325}{2}.6\sqrt{5}=1325\pi \sqrt{5}.$
Tam giác $SMO$ vuông tại $S,$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow OM=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$
Tam giác $OAM$ vuông tại $M,$ có $O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=O{{A}^{2}}\Rightarrow AM=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{45}{2}}$
Diện tích tam giác $SAB$ là ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SM.AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{9\sqrt{10}}{2}.2\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{45}{2}}=360\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{1325}{2}$
Vậy thể tích khối nón cần tính là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{1325}{2}.6\sqrt{5}=1325\pi \sqrt{5}.$
Đáp án A.