Google
Câu hỏi: Cho hình nón có đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $a$ và góc ở đỉnh bằng $120{}^\circ $. Thiết diện tạo bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh $S$ và hình nón là một tam giác có diện tích lớn nhất bằng:
A. $\dfrac{2}{3}{{a}^{2}}$
B. $\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}$
C. $\dfrac{4}{3}{{a}^{2}}$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}{{a}^{2}}$
Ta có $A{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2SA2SB\cos \widehat{ASB}\Leftrightarrow SA=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}}{2-2\cos \widehat{ASB}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}}{2-2\cos 120{}^\circ }}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Ta có diện tích thiết diện là $S'=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}\sin \alpha \le \dfrac{1}{2}{{l}^{2}}=\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=\dfrac{2}{3}{{a}^{2}}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\sin \alpha =1$ hay $\alpha =\widehat{A'SB'}=90{}^\circ $.
A. $\dfrac{2}{3}{{a}^{2}}$
B. $\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}$
C. $\dfrac{4}{3}{{a}^{2}}$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}{{a}^{2}}$
Ta có diện tích thiết diện là $S'=\dfrac{1}{2}{{l}^{2}}\sin \alpha \le \dfrac{1}{2}{{l}^{2}}=\dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=\dfrac{2}{3}{{a}^{2}}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\sin \alpha =1$ hay $\alpha =\widehat{A'SB'}=90{}^\circ $.
Đáp án A.