Google
Câu hỏi: Cho hình nón có đỉnh $S$, bán kính đáy bằng $a\sqrt{3}$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông cân $SAB$. Biết khoảng cách giữa $AB$ và trục của hình nón bằng $a$. Tính thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho theo $a$.
A. $\dfrac{\pi {{a}^{{{3}^{{}}}}}}{3}$.
B. $3\pi {{a}^{3}}$.
C. $\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$.
Ta có $OM=d(SO,AB)=a$.
Xét tam giác vuông $OAM$ : $OA=a\sqrt{3}\Rightarrow AM=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{M}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow AB=2MA=2\sqrt{2}a$
Lại có do tam giác $SAB$ vuông cân tại S nên ta có: $2S{{A}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow SA=2a$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=a$
${{V}_{non}}=\dfrac{1}{3}SO.\pi O{{A}^{2}}=\dfrac{1}{3}a\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\pi {{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{\pi {{a}^{{{3}^{{}}}}}}{3}$.
B. $3\pi {{a}^{3}}$.
C. $\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$.
Ta có $OM=d(SO,AB)=a$.
Xét tam giác vuông $OAM$ : $OA=a\sqrt{3}\Rightarrow AM=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{M}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow AB=2MA=2\sqrt{2}a$
Lại có do tam giác $SAB$ vuông cân tại S nên ta có: $2S{{A}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow SA=2a$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=a$
${{V}_{non}}=\dfrac{1}{3}SO.\pi O{{A}^{2}}=\dfrac{1}{3}a\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án C.
