Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao là $5a$. Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh $S$ của hình nón và cắt đường tròn đáy của hình nón tại hai điểm $A$, $B$ sao cho tam giác $SAB$ có diện tích bằng $\dfrac{10{{a}^{2}}\sqrt{23}}{3}$. Biết rằng góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt đáy của hình nón là $60{}^\circ $. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. $\dfrac{125\pi {{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{80\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{125\pi {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{40\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $O$ là tâm của đường tròn đáy của hình nón, theo đầu bài ta có: $SO=5a$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, ta có: $AB\bot OH$, $AB\bot SO$ $\Rightarrow AB\bot SH$.
Do đó, $\widehat{SHO}=\left( SH,OH \right)$ là góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt đáy của hình nón. Theo đầu bài, ta có: $\widehat{SHO}=60{}^\circ $.
Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ $\Rightarrow SH=\dfrac{SO}{\sin \widehat{SHO}}$ $=\dfrac{5a}{\sin 60{}^\circ }$ $=\dfrac{10a\sqrt{3}}{3}$,
$OH=SO.\cot \widehat{SHO}$ $=5a.\cot 60{}^\circ $ $=\dfrac{5a\sqrt{3}}{3}$.
Hơn nữa, ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}AB.SH$ $\Rightarrow AB=\dfrac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{SH}$ mà ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{10{{a}^{2}}\sqrt{23}}{3}$ nên $AB=\dfrac{2a\sqrt{69}}{3}$.
Suy ra, $AH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{69}}{3}$, $OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( \dfrac{5a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{69}}{3} \right)}^{2}}}=4a$.
Vậy, thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 4a \right)}^{2}}.5a=\dfrac{80\pi {{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{125\pi {{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{80\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{125\pi {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{40\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $O$ là tâm của đường tròn đáy của hình nón, theo đầu bài ta có: $SO=5a$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, ta có: $AB\bot OH$, $AB\bot SO$ $\Rightarrow AB\bot SH$.
Do đó, $\widehat{SHO}=\left( SH,OH \right)$ là góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt đáy của hình nón. Theo đầu bài, ta có: $\widehat{SHO}=60{}^\circ $.
Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ $\Rightarrow SH=\dfrac{SO}{\sin \widehat{SHO}}$ $=\dfrac{5a}{\sin 60{}^\circ }$ $=\dfrac{10a\sqrt{3}}{3}$,
$OH=SO.\cot \widehat{SHO}$ $=5a.\cot 60{}^\circ $ $=\dfrac{5a\sqrt{3}}{3}$.
Hơn nữa, ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}AB.SH$ $\Rightarrow AB=\dfrac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{SH}$ mà ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{10{{a}^{2}}\sqrt{23}}{3}$ nên $AB=\dfrac{2a\sqrt{69}}{3}$.
Suy ra, $AH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{69}}{3}$, $OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( \dfrac{5a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{69}}{3} \right)}^{2}}}=4a$.
Vậy, thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 4a \right)}^{2}}.5a=\dfrac{80\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án B.