Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng $a$. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng $\dfrac{a}{3}$, thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:
A. $\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{9}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$.
D. $\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{12}$.
A. $\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{9}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$.
D. $\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{12}$.
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính thể tích khối nón
Cách giải:
Ta có $SO=a$
Mặt phẳng qua đỉnh là $\left( SAB \right)$
$OK=\dfrac{a}{3};\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Đặt $OA=R\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{8}}$
$SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{8}}=\sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}}$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S,$ trung tuyến $SH$
Nên $SH=\dfrac{AB}{2}=AH\Rightarrow \sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{8}}\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{5{{a}^{2}}\pi }{12}$
Áp dụng công thức tính thể tích khối nón
Cách giải:
Ta có $SO=a$
Mặt phẳng qua đỉnh là $\left( SAB \right)$
$OK=\dfrac{a}{3};\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Đặt $OA=R\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{8}}$
$SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{8}}=\sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}}$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S,$ trung tuyến $SH$
Nên $SH=\dfrac{AB}{2}=AH\Rightarrow \sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{8}}\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{5{{a}^{2}}\pi }{12}$
Đáp án D.