Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng $a$, biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng $\frac{a}{3}$, thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:
A. $\frac{5\pi {{a}^{3}}}{12}$.
B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$.
D. $\frac{5\pi {{a}^{3}}}{9}$.
Ta có: $h=OS=a$.
Dựng $OH\bot AB$ và $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SHO \right)$. Dựng $OK\bot SH$ $\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)$.
Khi đó: $d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OK=\frac{a}{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}+\frac{1}{O{{S}^{2}}}$ $\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
Ta có: $\Delta SAB$ vuông cân tại $S$ có đường cao $SH$ nên $SH=\frac{AB}{2}=HB=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}$.
$\Delta HBO$ vuông tại $H$ có: $OB=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón là: $V=\frac{1}{3}h.\pi {{R}^{2}}=\frac{1}{3}.a.\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=\frac{5\pi {{a}^{3}}}{12}$.
A. $\frac{5\pi {{a}^{3}}}{12}$.
B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$.
D. $\frac{5\pi {{a}^{3}}}{9}$.
Ta có: $h=OS=a$.
Dựng $OH\bot AB$ và $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SHO \right)$. Dựng $OK\bot SH$ $\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)$.
Khi đó: $d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OK=\frac{a}{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}+\frac{1}{O{{S}^{2}}}$ $\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
Ta có: $\Delta SAB$ vuông cân tại $S$ có đường cao $SH$ nên $SH=\frac{AB}{2}=HB=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}$.
$\Delta HBO$ vuông tại $H$ có: $OB=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón là: $V=\frac{1}{3}h.\pi {{R}^{2}}=\frac{1}{3}.a.\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=\frac{5\pi {{a}^{3}}}{12}$.
Đáp án A.