Cho hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2, ta...

Gọi $S$ là đỉnh, $I$ là tâm đường tròn đáy của hình nón đã cho.
Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2 cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Qua $I$ kẻ $IH\mathrm{\perp }SM(H\in SM)$.
Ta có:
$IA=IB=3$ nên tam giác $IAB$ cân tại $I$ hay $IM\mathrm{\perp }AB\left(1\right)$
$SI\mathrm{\perp }\left(IAB\right)\Rightarrow SI\mathrm{\perp }AB\left(2\right)$
Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $AB\mathrm{\perp }\left(SIM\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }IH$ mà $IH\mathrm{\perp }SM$ nên $IH\mathrm{\perp }\left(SAB\right)$
Khoảng cách từ tâm đến $mp\left(SAB\right)$ bằng 2 nên $IH=2$
Tam giác $SIM$ vuông tại $I$, có đường cao $IH$ nên:
${\displaystyle \frac{1}{I{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{S{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{I{M}^2}}\iff {\displaystyle \frac{1}{2^2}}={\displaystyle \frac{1}{4^2}}+{\displaystyle \frac{1}{I{M}^2}}\Rightarrow IM={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$
$S{M}^2=S{I}^2+I{M}^2=4^2+{\left({\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\right)}^2\Rightarrow SM={\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}$
Tam giác $IAM$ vuông tại $M$ nên $AM=\sqrt{I{A}^2-I{M}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{3}}\Rightarrow AB={\displaystyle \frac{2\sqrt{33}}{3}}$.
Tam giác $SAB$ có $SM\mathrm{\perp }AB$ nên diện tích tam giác $SAB$ là:
$S_{\mathrm{\Delta }SAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}SM.AB={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}.{\displaystyle \frac{2\sqrt{33}}{3}}={\displaystyle \frac{8\sqrt{11}}{3}}$
Vậy diện tích thiết diện bằng ${\displaystyle \frac{8\sqrt{11}}{3}}$ (đvtt)