Cho hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2, ta...

Gọi $S$ là đỉnh, $I$ là tâm đường tròn đáy của hình nón đã cho.
Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2 cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Qua $I$ kẻ $IH\bot SM\left(H\in SM \right)$.
Ta có:
$IA=IB=3$ nên tam giác $IAB$ cân tại $I$ hay $IM\bot AB\left(1 \right)$
$SI\bot \left(IAB \right)\Rightarrow SI\bot AB\left(2 \right)$
Từ $\left(1 \right)$ và $\left(2 \right)$ suy ra $AB\bot \left(SIM \right)\Rightarrow AB\bot IH$ mà $IH\bot SM$ nên $IH\bot \left(SAB \right)$
Khoảng cách từ tâm đến $mp\left(SAB \right)$ bằng 2 nên $IH=2$
Tam giác $SIM$ vuông tại $I$, có đường cao $IH$ nên:
$\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{2}^{2}}}=\dfrac{1}{{{4}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{M}^{2}}}\Rightarrow IM=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
$S{{M}^{2}}=S{{I}^{2}}+I{{M}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}\Rightarrow SM=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
Tam giác $IAM$ vuông tại $M$ nên $AM=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{M}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{33}}{3}\Rightarrow AB=\dfrac{2\sqrt{33}}{3}$.
Tam giác $SAB$ có $SM\bot AB$ nên diện tích tam giác $SAB$ là:
${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SM. AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.\dfrac{2\sqrt{33}}{3}=\dfrac{8\sqrt{11}}{3}$
Vậy diện tích thiết diện bằng $\dfrac{8\sqrt{11}}{3}$ (đvtt)