Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng 3. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều, góc giữa trục của hình nón và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là 450. Thể tích của hình nón đã cho bằng
A. $5\sqrt{24}\pi $
B. $15\pi $
C. $45\pi $
D. $15\sqrt{25}\pi $
A. $5\sqrt{24}\pi $
B. $15\pi $
C. $45\pi $
D. $15\sqrt{25}\pi $
Cách giải:
Gọi $AB$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với mặt đáy.
Kẻ $O'H\bot AB$ ta có $\angle OO'H={{45}^{0}}$
Nên $OH=h.\tan \angle OO'H=h.\tan {{45}^{0}}=h=3\Rightarrow O'H=3\sqrt{2}$
Tam giác $O'AB$ là tam giác đều nên $O'H=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2}$
Nên $AB=2\sqrt{6}\Rightarrow AH=\sqrt{6}\Rightarrow OA=R=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{15}$
Thể tích hình nón là $V=\pi {{R}^{2}}h=45\pi $
Gọi $AB$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với mặt đáy.
Kẻ $O'H\bot AB$ ta có $\angle OO'H={{45}^{0}}$
Nên $OH=h.\tan \angle OO'H=h.\tan {{45}^{0}}=h=3\Rightarrow O'H=3\sqrt{2}$
Tam giác $O'AB$ là tam giác đều nên $O'H=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2}$
Nên $AB=2\sqrt{6}\Rightarrow AH=\sqrt{6}\Rightarrow OA=R=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{15}$
Thể tích hình nón là $V=\pi {{R}^{2}}h=45\pi $
Đáp án C.