Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng $2\sqrt{5}$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh $O$ của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác $OAB$ có diện tích bằng $9\sqrt{2}$ và góc $\widehat{AOB}=45{}^\circ $. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. $\dfrac{32\sqrt{5}\pi }{3}$.
B. $32\pi $.
C. $32\sqrt{5}\pi $.
D. $96\pi $.
Gọi $I$ là tâm đường tròn đáy hình nón, thiết diện là tam giác cân $OAB$.
${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB.\sin 45{}^\circ \Leftrightarrow 9\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}O{{A}^{2}}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}=36$.
Do đó $IA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{36-{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}=4$.
Khối nón cần tìm có bán kính đáy $IA=4$, chiều cao $OI=2\sqrt{5}$ nên có thể tích là:
$V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{d}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .I{{A}^{2}}.OI=\dfrac{1}{3}\pi .16.2\sqrt{5}=\dfrac{32\pi \sqrt{5}}{3}$.
A. $\dfrac{32\sqrt{5}\pi }{3}$.
B. $32\pi $.
C. $32\sqrt{5}\pi $.
D. $96\pi $.
${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB.\sin 45{}^\circ \Leftrightarrow 9\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}O{{A}^{2}}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}=36$.
Do đó $IA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{36-{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}=4$.
Khối nón cần tìm có bán kính đáy $IA=4$, chiều cao $OI=2\sqrt{5}$ nên có thể tích là:
$V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{d}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .I{{A}^{2}}.OI=\dfrac{1}{3}\pi .16.2\sqrt{5}=\dfrac{32\pi \sqrt{5}}{3}$.
Đáp án A.