Cho hình nón có chiều cao $2 R$ và bán kính đường tròn đáy $R .$ Xét...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao

2 R

và bán kính đường tròn đáy

R .

Xét hình trụ nội tiếp hình nón sao cho thể tích khối trụ lớn nhất, khi đó bán kính đáy của khối trụ bằng

A.

\frac{2 R}{3} .

B.

\frac{R}{3} .

C.

\frac{R}{2} .

D.

\frac{3 R}{4} .

Gọi

r, h

lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của hình trụ
Hình trụ nội tiếp hình nón

\Rightarrow \frac{h}{2 R} = \frac{R - r}{R} \Rightarrow h = 2 R - 2 r

(tam giác đồng dạng)
Thể tích khối trụ là

V = π r^{2} h = π r^{2} (2 R - 2 r) = π r . r . (2 R - 2 r)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

r . r . (2 R - 2 r) \leq \frac{{(r + r + 2 R - 2 r)}^{3}}{27} = \frac{8 R^{3}}{27}

Do đó

V \leq \frac{8 π R^{3}}{27} .

Dấu bằng xảy ra khi

r = 2 R - 2 r \Leftrightarrow r = \frac{2 R}{3} .

Đáp án A.

Cho hình nón có chiều cao 2R và bán kính đường tròn đáy R. Xét...