Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao $2R$ và bán kính đường tròn đáy $R.$ Xét hình trụ nội tiếp hình nón sao cho thể tích khối trụ lớn nhất, khi đó bán kính đáy của khối trụ bằng
A. $\dfrac{2R}{3}.$
B. $\dfrac{R}{3}.$
C. $\dfrac{R}{2}.$
D. $\dfrac{3R}{4}.$
A. $\dfrac{2R}{3}.$
B. $\dfrac{R}{3}.$
C. $\dfrac{R}{2}.$
D. $\dfrac{3R}{4}.$
Gọi $r, h$ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của hình trụ
Hình trụ nội tiếp hình nón $\Rightarrow \dfrac{h}{2R}=\dfrac{R-r}{R}\Rightarrow h=2R-2r$ (tam giác đồng dạng)
Thể tích khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}\left( 2R-2r \right)=\pi r.r.\left( 2R-2r \right)$
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có $r.r.\left( 2R-2r \right)\le \dfrac{{{\left( r+r+2R-2r \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{8{{R}^{3}}}{27}$
Do đó $V\le \dfrac{8\pi {{R}^{3}}}{27}.$ Dấu bằng xảy ra khi $r=2R-2r\Leftrightarrow r=\dfrac{2R}{3}.$
Hình trụ nội tiếp hình nón $\Rightarrow \dfrac{h}{2R}=\dfrac{R-r}{R}\Rightarrow h=2R-2r$ (tam giác đồng dạng)
Thể tích khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}\left( 2R-2r \right)=\pi r.r.\left( 2R-2r \right)$
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có $r.r.\left( 2R-2r \right)\le \dfrac{{{\left( r+r+2R-2r \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{8{{R}^{3}}}{27}$
Do đó $V\le \dfrac{8\pi {{R}^{3}}}{27}.$ Dấu bằng xảy ra khi $r=2R-2r\Leftrightarrow r=\dfrac{2R}{3}.$
Đáp án A.