Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung...

Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài cạnh của hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là 1.
Gọi $Q,R,I$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $DC,D{D}^{\prime },A{A}^{\prime }$.
Ta có $QR\text{//}MN\text{//}{D}^{\prime }C\text{//}{A}^{\prime }B$ nên $M,N,Q,R$ đồng phẳng.
$\left(MNQR\right)\cap \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)=MN$. Trong $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$, ta có $IM\mathrm{\perp }MN$.
$RI\mathrm{\perp }\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\Rightarrow RI\mathrm{\perp }MN$. Do đó, $MN\mathrm{\perp }\left(IMR\right)\Rightarrow MR\mathrm{\perp }MN$.
Suy ra $\beta =\widehat{(\left(MNQR\right),\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))}=(IM,MR)=\widehat{RMI}$, $\tan \beta ={\displaystyle \frac{RI}{MI}}=\sqrt{2}$. Như vậy, mặt phẳng $\left(P\right)$ chính là mặt phẳng $MNQR$.
Gọi $T=MN\cap A{A}^{\prime },K=MN\cap AB,P=QK\cap BC,S=RT\cap A^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó, thiết diện của khối lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt bởi mặt phẳng $\left(P\right)$ là lục giác $MNPQRS$.
$V_1=V_{A.MNPQRS}+V_{A{A}^{\prime }MS}+V_{ADRQ}+V_{ABNP}$
$V_2=V_{C^{\prime }.MNPQRS}+V_{C^{\prime }{D}^{\prime }RS}+V_{C^{\prime }CPQ}+V_{C^{\prime }MN{B}^{\prime }}$
Dễ thấy $V_{A.MNPQRS}=V_{C^{\prime }.MNPQRS}$ và
$V_{A{A}^{\prime }MS}=V_{ADRQ}=V_{ABNP}=V_{C^{\prime }{D}^{\prime }RS}=V_{C^{\prime }CPQ}=V_{C^{\prime }MN{B}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}.1.{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{24}}$.
Do đó, $V_1=V_2\Rightarrow {\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}=1$.