Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $B'A'$ và $B'B$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $MN$ và tạo với mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ một góc $\alpha $ sao cho $\tan \alpha =\sqrt{2}$. Biết $\left( P \right)$ cắt các cạnh $DD'$ và $DC$. Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ chia khối lập phương thành hai phần, gọi thể tích phần chứa điểm $A$ là ${{V}_{1}}$ và phần còn lại có thể tích ${{V}_{2}}$. Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ là
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1$.
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2$.
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}$.
Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài cạnh của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ là 1.
Gọi $Q,R,I$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $DC,DD',AA'$.
Ta có $QR \text{//} MN \text{//} {D}'C \text{//} {A}'B$ nên $M,N,Q,R$ đồng phẳng.
$\left( MNQR \right)\cap \left( ABB'A' \right)=MN$. Trong $\left( ABB'A' \right)$, ta có $IM\bot MN$.
$RI\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow RI\bot MN$. Do đó, $MN\bot \left( IMR \right)\Rightarrow MR\bot MN$.
Suy ra $\beta =\widehat{\left( \left( MNQR \right),\left( ABB'A' \right) \right)}=\left( IM,MR \right)=\widehat{RMI}$, $\tan \beta =\dfrac{RI}{MI}=\sqrt{2}$. Như vậy, mặt phẳng $\left( P \right)$ chính là mặt phẳng $MNQR$.
Gọi $T=MN\cap AA',K=MN\cap AB,P=QK\cap BC,S=RT\cap A'D'$. Khi đó, thiết diện của khối lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là lục giác $MNPQRS$.
${{V}_{1}}={{V}_{A.MNPQRS}}+{{V}_{AA'MS}}+{{V}_{ADRQ}}+{{V}_{ABNP}}$
${{V}_{2}}={{V}_{C'.MNPQRS}}+{{V}_{C'D'RS}}+{{V}_{C'CPQ}}+{{V}_{C'MNB'}}$
Dễ thấy ${{V}_{A.MNPQRS}}={{V}_{C'.MNPQRS}}$ và
${{V}_{AA'MS}}={{V}_{ADRQ}}={{V}_{ABNP}}={{V}_{C'D'RS}}={{V}_{C'CPQ}}={{V}_{C'MNB'}}=\dfrac{1}{3}.1.\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{24}$.
Do đó, ${{V}_{1}}={{V}_{2}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1$.
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1$.
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2$.
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}$.
Gọi $Q,R,I$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $DC,DD',AA'$.
Ta có $QR \text{//} MN \text{//} {D}'C \text{//} {A}'B$ nên $M,N,Q,R$ đồng phẳng.
$\left( MNQR \right)\cap \left( ABB'A' \right)=MN$. Trong $\left( ABB'A' \right)$, ta có $IM\bot MN$.
$RI\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow RI\bot MN$. Do đó, $MN\bot \left( IMR \right)\Rightarrow MR\bot MN$.
Suy ra $\beta =\widehat{\left( \left( MNQR \right),\left( ABB'A' \right) \right)}=\left( IM,MR \right)=\widehat{RMI}$, $\tan \beta =\dfrac{RI}{MI}=\sqrt{2}$. Như vậy, mặt phẳng $\left( P \right)$ chính là mặt phẳng $MNQR$.
Gọi $T=MN\cap AA',K=MN\cap AB,P=QK\cap BC,S=RT\cap A'D'$. Khi đó, thiết diện của khối lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là lục giác $MNPQRS$.
${{V}_{1}}={{V}_{A.MNPQRS}}+{{V}_{AA'MS}}+{{V}_{ADRQ}}+{{V}_{ABNP}}$
${{V}_{2}}={{V}_{C'.MNPQRS}}+{{V}_{C'D'RS}}+{{V}_{C'CPQ}}+{{V}_{C'MNB'}}$
Dễ thấy ${{V}_{A.MNPQRS}}={{V}_{C'.MNPQRS}}$ và
${{V}_{AA'MS}}={{V}_{ADRQ}}={{V}_{ABNP}}={{V}_{C'D'RS}}={{V}_{C'CPQ}}={{V}_{C'MNB'}}=\dfrac{1}{3}.1.\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{24}$.
Do đó, ${{V}_{1}}={{V}_{2}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1$.
Đáp án A.