Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương ${ABCD.A'B'C'D'}$ có tâm ${O}$. Gọi ${I}$ là tâm của hình vuông ${ABCD}$ và ${M}$ là điểm thuộc ${OI}$ sao cho ${MO=\dfrac{1}{2}MI}$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó, côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng ${\left( MC'D' \right)}$ và ${\left( MAB \right)}$ bằng
A. ${\dfrac{7\sqrt{85}}{85}.}$
B. ${\dfrac{6\sqrt{13}}{65}.}$
C. ${\dfrac{6\sqrt{85}}{85}.}$
D. ${\dfrac{17\sqrt{13}}{65}.}$
A. ${\dfrac{7\sqrt{85}}{85}.}$
B. ${\dfrac{6\sqrt{13}}{65}.}$
C. ${\dfrac{6\sqrt{85}}{85}.}$
D. ${\dfrac{17\sqrt{13}}{65}.}$
Giả sử độ dài cạnh hình lập phương là 6, lập hệ trục tọa độ nhận O làm gốc.
Trong đó $Ox,Oy,Oz$ cùng hưởng với $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{IO}.$
Khi đó $A\left( 3;-3;3 \right),B\left( -3;3;3 \right),C'\left( -3;3;-3 \right),D'\left( 3;3;-3 \right),M\left( 0;0;-1 \right).$
Hai mặt phẳng $\left( MC'D' \right),\left( MAB \right)$ lần lượt có 2 véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;2;3 \right),\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 0;4;3 \right).$
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng quy về góc giữa 2 véc tơ pháp tuyến, tức là
$~\cos \alpha =\dfrac{\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{17}{5\sqrt{13}}\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{6\sqrt{13}}{65}.$
Trong đó $Ox,Oy,Oz$ cùng hưởng với $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{IO}.$
Khi đó $A\left( 3;-3;3 \right),B\left( -3;3;3 \right),C'\left( -3;3;-3 \right),D'\left( 3;3;-3 \right),M\left( 0;0;-1 \right).$
Hai mặt phẳng $\left( MC'D' \right),\left( MAB \right)$ lần lượt có 2 véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;2;3 \right),\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 0;4;3 \right).$
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng quy về góc giữa 2 véc tơ pháp tuyến, tức là
$~\cos \alpha =\dfrac{\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{17}{5\sqrt{13}}\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{6\sqrt{13}}{65}.$
Đáp án B.