Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và điểm M thuộc đoạn OI sao cho $MO=2MI$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( MC'D' \right)$ và $\left( MAB \right)$ bằng
A. $\dfrac{6\sqrt{13}}{65}.$
B. $\dfrac{7\sqrt{85}}{85}.$
C. $\dfrac{17\sqrt{13}}{65}.$
D. $\dfrac{6\sqrt{85}}{85}.$
A. $\dfrac{6\sqrt{13}}{65}.$
B. $\dfrac{7\sqrt{85}}{85}.$
C. $\dfrac{17\sqrt{13}}{65}.$
D. $\dfrac{6\sqrt{85}}{85}.$
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau:
$M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{6} \right),C'\left( 0;1;0 \right),D'\left( 1;1;0 \right)$ và $A\left( 1;0;1 \right),B\left( 0;0;1 \right).$
Khi đó ${{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}}=\left( 0;1;3 \right);{{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}}=\left( 0;5;3 \right)$
nên $\cos \widehat{MAB,MC'D'}=\dfrac{\left| 5.1+3.3 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{7\sqrt{85}}{85}$.
Suy ra $sin\widehat{\left( \left( MAB \right),\left( MC'D' \right) \right)}=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{7\sqrt{85}}{85} \right)}^{2}}}=\dfrac{6\sqrt{85}}{85}.$
$M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{6} \right),C'\left( 0;1;0 \right),D'\left( 1;1;0 \right)$ và $A\left( 1;0;1 \right),B\left( 0;0;1 \right).$
Khi đó ${{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}}=\left( 0;1;3 \right);{{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}}=\left( 0;5;3 \right)$
nên $\cos \widehat{MAB,MC'D'}=\dfrac{\left| 5.1+3.3 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{7\sqrt{85}}{85}$.
Suy ra $sin\widehat{\left( \left( MAB \right),\left( MC'D' \right) \right)}=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{7\sqrt{85}}{85} \right)}^{2}}}=\dfrac{6\sqrt{85}}{85}.$
Đáp án D.