Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có diện tích tam giác $ACD'$ bằng ${{a}^{2}}\sqrt{3}$. Tính thể tích $V$ của khối lập phương.
A. $V=4\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
B. $V=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
C. $V=8{{a}^{3}}$.
D. $V={{a}^{3}}$.
Ta có: $AC=CD'=D'A$ vì chúng là đường chéo các mặt của hình lập phương, suy ra $ACD'$ là tam giác đều.
Gọi hình lập phương có cạnh bằng $x$.
Xét tam giác vuông $ABC$, có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}=x\sqrt{2}$.
Diện tích của tam giác đều $ACD'$ : $S=\dfrac{1}{2}AC.AD'.\sin \widehat{CAD'}=\dfrac{1}{2}x\sqrt{2}.x\sqrt{2}.\sin 60{}^\circ =\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Theo đề ra ta có: $\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{2}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối lập phương : $V={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{3}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
A. $V=4\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
B. $V=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
C. $V=8{{a}^{3}}$.
D. $V={{a}^{3}}$.
Ta có: $AC=CD'=D'A$ vì chúng là đường chéo các mặt của hình lập phương, suy ra $ACD'$ là tam giác đều.
Gọi hình lập phương có cạnh bằng $x$.
Xét tam giác vuông $ABC$, có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}=x\sqrt{2}$.
Diện tích của tam giác đều $ACD'$ : $S=\dfrac{1}{2}AC.AD'.\sin \widehat{CAD'}=\dfrac{1}{2}x\sqrt{2}.x\sqrt{2}.\sin 60{}^\circ =\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Theo đề ra ta có: $\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{2}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối lập phương : $V={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{3}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Đáp án B.