Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Xét điểm M di động trên cạnh AB và điểm N di động trên cạnh AD sao cho luôn có $AM+AN=a$. Biết rằng khi M và N di động thì mặt phẳng (A'MN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, khối cầu tương ứng với mặt cầu cố định đó có thể tích bằng
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}$
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{9}$
Dễ thấy $\Delta {A}'MN=\Delta CNM \left( c.c.c \right)$ nên ${{S}_{{A}'MN}}={{S}_{CNM}}$.
Gọi I là trung điểm của A'C thì I là tâm của hình lập phương đã cho.
Khi đó ${{V}_{ICMN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{{A}'CMN}}$ và ${{V}_{{A}'INM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{{A}'CMN}}$. Do đó ${{V}_{IMN{A}'}}={{V}_{ICMN}}$.
Lại do ${{S}_{{A}'MN}}={{S}_{CMN}}$ nên $d\left( I, \left( {A}'MN \right) \right)=d\left( I, \left( CMN \right) \right)=\dfrac{a}{2}$.
Vì vậy mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I, bán kính $r=\dfrac{a}{2}$ (đây cũng chính là mặt cầu nội tiếp hình lập phương đã cho).
Thể tích khối cầu cố định này là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}$
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{9}$
Gọi I là trung điểm của A'C thì I là tâm của hình lập phương đã cho.
Khi đó ${{V}_{ICMN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{{A}'CMN}}$ và ${{V}_{{A}'INM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{{A}'CMN}}$. Do đó ${{V}_{IMN{A}'}}={{V}_{ICMN}}$.
Lại do ${{S}_{{A}'MN}}={{S}_{CMN}}$ nên $d\left( I, \left( {A}'MN \right) \right)=d\left( I, \left( CMN \right) \right)=\dfrac{a}{2}$.
Vì vậy mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I, bán kính $r=\dfrac{a}{2}$ (đây cũng chính là mặt cầu nội tiếp hình lập phương đã cho).
Thể tích khối cầu cố định này là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$
Đáp án A.