Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$, điểm $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $I$ là tâm hình vuông $CD{D}'{C}'$. Mặt phẳng $\left( AMI \right)$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm $D$ có thể tích là $V.$ Khi đó giá trị của $V$ là
A. $V=\dfrac{7}{29}{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{22}{29}{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{7}{36}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{29}{36}{{a}^{3}}$.
Trong $(ABCD)$, $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Trong $CD{D}'{C}'$, $EI$ cắt $CC'$ tại $N$, $EI$ cắt $\text{DD}'$ tại $F$.
Mặt phẳng $(AMI)$ cắt hình lập phương theo một thiết diện là tứ giác $AMNF$.
Do $M$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow $ $C$ là trung điểm $DE$ $\Rightarrow ED=2a$.
Gọi $K$ là trung điểm $CD$ $\Rightarrow CN//KI//DF$ ; $KI=\dfrac{a}{2}$
Ta có : $\dfrac{CN}{DF}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{1}{2}$ ; $\dfrac{CN}{KI}=\dfrac{EC}{EK}=\dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow CN=\dfrac{a}{3};DF=\dfrac{2a}{3}$
Ta có: ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}={{a}^{3}}$
${{V}_{CMN.DAF}}={{V}_{E.DAF}}-{{V}_{E.CMN}}=\dfrac{1}{3}ED.\dfrac{1}{2}DA.DF-\dfrac{1}{3}EC.\dfrac{1}{2}CM.CN=\dfrac{7{{a}^{3}}}{36}$.
$V={{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}-{{V}_{CMN.DAF}}={{a}^{3}}-\dfrac{7{{a}^{3}}}{36}=\dfrac{29{{a}^{3}}}{36}$.
A. $V=\dfrac{7}{29}{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{22}{29}{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{7}{36}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{29}{36}{{a}^{3}}$.
Trong $(ABCD)$, $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Trong $CD{D}'{C}'$, $EI$ cắt $CC'$ tại $N$, $EI$ cắt $\text{DD}'$ tại $F$.
Mặt phẳng $(AMI)$ cắt hình lập phương theo một thiết diện là tứ giác $AMNF$.
Do $M$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow $ $C$ là trung điểm $DE$ $\Rightarrow ED=2a$.
Gọi $K$ là trung điểm $CD$ $\Rightarrow CN//KI//DF$ ; $KI=\dfrac{a}{2}$
Ta có : $\dfrac{CN}{DF}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{1}{2}$ ; $\dfrac{CN}{KI}=\dfrac{EC}{EK}=\dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow CN=\dfrac{a}{3};DF=\dfrac{2a}{3}$
Ta có: ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}={{a}^{3}}$
${{V}_{CMN.DAF}}={{V}_{E.DAF}}-{{V}_{E.CMN}}=\dfrac{1}{3}ED.\dfrac{1}{2}DA.DF-\dfrac{1}{3}EC.\dfrac{1}{2}CM.CN=\dfrac{7{{a}^{3}}}{36}$.
$V={{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}-{{V}_{CMN.DAF}}={{a}^{3}}-\dfrac{7{{a}^{3}}}{36}=\dfrac{29{{a}^{3}}}{36}$.
Đáp án D.